Jacobiano

[zio_paperone]

so che lo Jacobiano è costruito come $J_(i,j) = (delx_i)/(del\barx_j)$

consideriamo le coordinate polari, perchè è quello che mi interessa:

si può dire che

$(((del)/(del\rho)),((del)/(del\theta)),((del)/(del\phi))) = J (((del)/(delx)),((del)/(dely)),((del)/(delz)))$

?



si avrebbe ad esempio che $(del)/(del\rho) = (delx)/(del\rho) * (del)/(delx) + ...$

no.. mi sa che non mi torna!!??
forse è il contrario?

[alberto861]

supponi di avere due parametrizzazioni di $R^n$ una con coordinate $x_1,...,x_n$ e un'altra con coordinate $y_1,...y_n$ e sia $F:R^n ->R^n$ diffeomorfismo tale che $y_i=F_i(x_1,...,x_n)$. A esso è associato il differenziale $F_{\star}$ che agisce sui campi vettoriali di $(R^n,x_1,...x_n)$ nel seguente modo: data $f$ funzione delle $y$ si ha $F_{\star}(X)(f)(p)=(X(fF))(F^{-1}(p))$. Da cui $F_{\star}(X)(f)=\sum_{i=1}^n X_i \del fF/{\del x_i}=\sum_{i=1}^n X_i \sum_{j=1}^n \del fF/{\del y_j} \del F_j/{\del x_i}=\sum_{j=1}^n \del /{\del y_j} \sum_{i=1}^n X_i\del F_j/{\del x_i}$. Per cui si ha la formula di cambiamento di coordinate $Y=J_F X$. Dovrebbe essere noto che a essa resta associata la formula di cambiamento di vettore $v'=(J_F^{-1})^T v$ per cui se $v$ rappresenta la base per i campi vettoriali in coordinate cartesiane e $v'$ la base dei campi vettoriali per le coordinate polari, allora $(J_F^{-1})^T$ è la trasposta dello jacobiano che fa passare dalle polari alle cartesiane e il resto segue sostituendo.