Isomorfismo V_3 ed R³
Buonasera,
mi piacerebbe poter risolvere con le vostre spiegazioni un dubbio che mi è sorto nell'apprendere l'isomorfismo esistente tra $V_3$ ed $R^3$
Sostanzialmente ho compreso che la creazione dell'isomorfismo tra le due "entità" si basa sul scegliere una base (3 vettori linearmente indipendenti di V3) e associare ad essi una terna di numeri di R3. Da questo momento in poi ogni altro elemento v di V viene allora a corrispondere a una terna di numeri (le componenti relative alla base data) che sono i coefficienti dell'unica combinazione lineare dei vettori della base che genera il vettore v.
Il problema è questo, finché scelgo tre vettori (tre assi) tra loro ortogonali -a meno di rotazioni- va tutto bene: li chiamerò nelle terne (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) e potrò fare tutte le operazioni del caso; ma nel momento in cui io prendo che so: tre vettori con angoli tra loro nello spazio di 60 gradi a questo punto non mi va a sballare tutto il concetto di ortogonalità? Nel senso: se faccio un prodotto scalare su terne così associate con questo isomorfismo mi trovo dei vettori tutti sballati.
Grazie dell'aiuto.
mi piacerebbe poter risolvere con le vostre spiegazioni un dubbio che mi è sorto nell'apprendere l'isomorfismo esistente tra $V_3$ ed $R^3$
Sostanzialmente ho compreso che la creazione dell'isomorfismo tra le due "entità" si basa sul scegliere una base (3 vettori linearmente indipendenti di V3) e associare ad essi una terna di numeri di R3. Da questo momento in poi ogni altro elemento v di V viene allora a corrispondere a una terna di numeri (le componenti relative alla base data) che sono i coefficienti dell'unica combinazione lineare dei vettori della base che genera il vettore v.
Il problema è questo, finché scelgo tre vettori (tre assi) tra loro ortogonali -a meno di rotazioni- va tutto bene: li chiamerò nelle terne (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) e potrò fare tutte le operazioni del caso; ma nel momento in cui io prendo che so: tre vettori con angoli tra loro nello spazio di 60 gradi a questo punto non mi va a sballare tutto il concetto di ortogonalità? Nel senso: se faccio un prodotto scalare su terne così associate con questo isomorfismo mi trovo dei vettori tutti sballati.
Grazie dell'aiuto.
Risposte
"ìawa vuole l'accento":
Buonasera,
mi piacerebbe poter risolvere con le vostre spiegazioni un dubbio che mi è sorto nell'apprendere l'isomorfismo esistente tra $V_3$ ed $R^3$
Cos'è $V_3$? Un generico spazio vettoriale di dimensione 3?
Il problema è questo, finché scelgo tre vettori (tre assi) tra loro ortogonali -a meno di rotazioni- va tutto bene: li chiamerò nelle terne (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) e potrò fare tutte le operazioni del caso; ma nel momento in cui io prendo che so: tre vettori con angoli tra loro nello spazio di 60 gradi a questo punto non mi va a sballare tutto il concetto di ortogonalità? Nel senso: se faccio un prodotto scalare su terne così associate con questo isomorfismo mi trovo dei vettori tutti sballati.
Grazie dell'aiuto.
L'ortogonalità dei vettori di una base è irrilevante ai fini dello scrivere le coordinate di un vettore in quella base.
Ciao e grazie.
Sì esatto, per figurarmelo geometricamente, che poi è lì che non mi torna, potremmo pensare a uno spazio $V_3$ rappresentato con segmenti orientati. Ecco, in quel caso intendevo che se io facessi corrispondere un isomorfismo delle terne con una base non ortogonale di V3 non mi ritroverei col prodotto scalare e ortogonalità geometrica
Detto in parole spicce con un esempio: associo (1,0,0) terna di R3 con un isomorfismo a un vettore di V3, poi prendo un vettore che ha 60° di angolo da questo vettore e creo un isomorfismo con la terna (0,1,0) e così per il terzo e ultimo vettore, ora appare chiaro che quando scriverò componenti su tale base quando avrò dei vettori non ortogonali tra loro in realtà il prodotto scalare eseguito su componenti mi direbbe il contrario (mentre somma tra componenti e prodotto dellecomponenti per uno scalare sarebbe preservato sia nel caso geometrico che matriciale=. Eppure nulla vieta di creare un isomorfismo del genere con tali assi strampalati.
"killing_buddha":
Cos'è $V_3$? Un generico spazio vettoriale di dimensione 3?.
Sì esatto, per figurarmelo geometricamente, che poi è lì che non mi torna, potremmo pensare a uno spazio $V_3$ rappresentato con segmenti orientati. Ecco, in quel caso intendevo che se io facessi corrispondere un isomorfismo delle terne con una base non ortogonale di V3 non mi ritroverei col prodotto scalare e ortogonalità geometrica

Detto in parole spicce con un esempio: associo (1,0,0) terna di R3 con un isomorfismo a un vettore di V3, poi prendo un vettore che ha 60° di angolo da questo vettore e creo un isomorfismo con la terna (0,1,0) e così per il terzo e ultimo vettore, ora appare chiaro che quando scriverò componenti su tale base quando avrò dei vettori non ortogonali tra loro in realtà il prodotto scalare eseguito su componenti mi direbbe il contrario (mentre somma tra componenti e prodotto dellecomponenti per uno scalare sarebbe preservato sia nel caso geometrico che matriciale=. Eppure nulla vieta di creare un isomorfismo del genere con tali assi strampalati.
"ìawa vuole l'accento":
Ciao e grazie.
[quote="killing_buddha"]
Cos'è $V_3$? Un generico spazio vettoriale di dimensione 3?.
Sì esatto, per figurarmelo geometricamente, che poi è lì che non mi torna, potremmo pensare a uno spazio $V_3$ rappresentato con segmenti orientati. Ecco, in quel caso intendevo che se io facessi corrispondere un isomorfismo delle terne con una base non ortogonale di V3 non mi ritroverei col prodotto scalare e ortogonalità geometrica

Detto in parole spicce con un esempio: associo (1,0,0) terna di R3 con un isomorfismo a un vettore di V3, poi prendo un vettore che ha 60° di angolo da questo vettore e creo un isomorfismo con la terna (0,1,0) e così per il terzo e ultimo vettore, ora appare chiaro che quando scriverò componenti su tale base quando avrò dei vettori non ortogonali tra loro in realtà il prodotto scalare eseguito su componenti mi direbbe il contrario (mentre somma tra componenti e prodotto dellecomponenti per uno scalare sarebbe preservato sia nel caso geometrico che matriciale=. Eppure nulla vieta di creare un isomorfismo del genere con tali assi strampalati.[/quote]
Cerco ancora risposta se qualcuno volesse intevenire lo ringrazio

non ho capito se non sono stato chiaro nell'esprimermi per non aver ricevuto risposte

Non si capisce che cosa hai chiesto, e sembri convinto che i cambi di base debbano mandare riferimenti ortogonali in riferimento ortogonali. Questo è falso.
Come diceva killing_buddha qui:
quando si parla di "isomorfismo" di spazi vettoriali non si fa nessun riferimento a eventuali prodotti scalari. L'unica struttura è quella algebrica di spazio vettoriale. (Mi sembra surreale essere *io* a dire queste cose in presenza di killing_buddha
)
L'ortogonalità dei vettori di una base è irrilevante ai fini dello scrivere le coordinate di un vettore in quella base.
quando si parla di "isomorfismo" di spazi vettoriali non si fa nessun riferimento a eventuali prodotti scalari. L'unica struttura è quella algebrica di spazio vettoriale. (Mi sembra surreale essere *io* a dire queste cose in presenza di killing_buddha


