Isomorfismo tra V ed R-spazio. Domanda intuitiva
Per intanto vi ringrazio e saluto.
Mi sono iscritto per una domanda che mi pongo. Ho letto altre discussioni in passato e memore dell'aiuto passivo che mi era stato offerto da discussioni già aperte ho deciso di scrivere attivamente.
La mia domanda è davvero stupida in confronto a quelle che leggo qua, però non riesco a capire e sono sicuro qualcuno più bravo saprà aiutarmi.
Il professore in questa prima parte di corso ci ha detto che il piano cartesiano e i vettori visti al liceo sono tutti rappresentabili tramite una funzione biunivoca (isomorfismi) con R^n n-uple.
A seconda dell'isomorfismo creatosi avremo diversi tipi di associazione.
La mia domanda perà è questa, se io associassi due vettori alla base canonica di R^2 come mostrato in figura
http://it.tinypic.com/r/20p61ye/9
potrei comunque rappresentare tutti i vettori del piano cartaceo univocamente?
In questo modo avrei una disparità di "Infiniti" ma con le nozioni che ho non risco a capire se funzionerebbe ugualmente.
Mi spiego un poco meglio, nel piano cartesiano classico rappresentato se faccio corrispondere (figura sulla sinistra) vettori (1,0) e (0,1) allora a' posso rappresentarlo con delle ennuple, e qualunque posizione assuma un a' nel 2,3,4 quadrante non mi darà problemi (siamo nelle ennuple reali e ogni ennupla avrà un numero in ogni entrata)
Il problema insorge nella figura sulla destra, in questo modo tutte le ennuple che hanno numeri positivi all'interno come ad esempio i vettori (1,1), (1,0) corrisponderanno a vettori interni all'angolo formati da (1,0) e (0,1) ma i vettori (-1,1) (-1,0) ecc infiniti non avranno corrispondenza biunivoca con i numeri positivi. Le ennuple negative, trattandosi di angolo concavo, dovranno rappresentare più vettori di quelle positive angolo concavo.
Insomma avrei una partizione dei reali (negativi) che corrisponde a più vettori di quanto non facciano i positivi e ad occhio mi verrebbe da dire che non è possibile perché una parte dei reali è più piccola della totalità.
Ma non ho ancora nozioni complete sugli infiniti e quindi mi chiedevo se c'era biunivocità tra le ennuple negative e quelle positive se si rappresentassero vettori con isomorfismi con base canonica di quel tipo (cioè la figura sulla destra non ortogonale).
Mi sono iscritto per una domanda che mi pongo. Ho letto altre discussioni in passato e memore dell'aiuto passivo che mi era stato offerto da discussioni già aperte ho deciso di scrivere attivamente.
La mia domanda è davvero stupida in confronto a quelle che leggo qua, però non riesco a capire e sono sicuro qualcuno più bravo saprà aiutarmi.
Il professore in questa prima parte di corso ci ha detto che il piano cartesiano e i vettori visti al liceo sono tutti rappresentabili tramite una funzione biunivoca (isomorfismi) con R^n n-uple.
A seconda dell'isomorfismo creatosi avremo diversi tipi di associazione.
La mia domanda perà è questa, se io associassi due vettori alla base canonica di R^2 come mostrato in figura
http://it.tinypic.com/r/20p61ye/9
potrei comunque rappresentare tutti i vettori del piano cartaceo univocamente?
In questo modo avrei una disparità di "Infiniti" ma con le nozioni che ho non risco a capire se funzionerebbe ugualmente.
Mi spiego un poco meglio, nel piano cartesiano classico rappresentato se faccio corrispondere (figura sulla sinistra) vettori (1,0) e (0,1) allora a' posso rappresentarlo con delle ennuple, e qualunque posizione assuma un a' nel 2,3,4 quadrante non mi darà problemi (siamo nelle ennuple reali e ogni ennupla avrà un numero in ogni entrata)
Il problema insorge nella figura sulla destra, in questo modo tutte le ennuple che hanno numeri positivi all'interno come ad esempio i vettori (1,1), (1,0) corrisponderanno a vettori interni all'angolo formati da (1,0) e (0,1) ma i vettori (-1,1) (-1,0) ecc infiniti non avranno corrispondenza biunivoca con i numeri positivi. Le ennuple negative, trattandosi di angolo concavo, dovranno rappresentare più vettori di quelle positive angolo concavo.
Insomma avrei una partizione dei reali (negativi) che corrisponde a più vettori di quanto non facciano i positivi e ad occhio mi verrebbe da dire che non è possibile perché una parte dei reali è più piccola della totalità.
Ma non ho ancora nozioni complete sugli infiniti e quindi mi chiedevo se c'era biunivocità tra le ennuple negative e quelle positive se si rappresentassero vettori con isomorfismi con base canonica di quel tipo (cioè la figura sulla destra non ortogonale).
Risposte
Hai messo un bel po' di carne al fuoco e mi sembra che tu sia molto confuso. Intanto una funzione bunivoca non è un isomorfismo, serve la linearità. La figura di cui parli non me la fa vedere (chissà perché), comunque immagino tu voglia associare alla base canonica di $\mathbb{R}^2$ dei vettori "storti". Allora puoi rappresentare tutti i vettori tramite coordinate rispetto ai vettori storti (purché non abbiano stessa direzione).
Per l'ultima parte non ho ben capito cosa stai cercando di dire e cosa non ti torna, ma a occhio e croce direi che secondo te date due rette incidenti non perpendicolari, il pezzo di piano che sta nell' angolo ottuso dovrebbe avere "più punti" di quello nell'angolo acuto. Ebbene ciò è FALSO! Le cose a occhio con gli infiniti non funzionano mai.
Credo che si potrebbe costruire una biezione esplicitamente con opportune rotazioni, ma sinceramente non ne ho voglia. Per convincerti che quello che dico non sono scemenze, ti dico questo: è possibile costruire una bigezione fra $(0,1)$ e $\mathbb{R}$, anche se uno è un intervallo "piccolo" e l'altro è l'insieme di tutti i reali.
Per l'ultima parte non ho ben capito cosa stai cercando di dire e cosa non ti torna, ma a occhio e croce direi che secondo te date due rette incidenti non perpendicolari, il pezzo di piano che sta nell' angolo ottuso dovrebbe avere "più punti" di quello nell'angolo acuto. Ebbene ciò è FALSO! Le cose a occhio con gli infiniti non funzionano mai.
Credo che si potrebbe costruire una biezione esplicitamente con opportune rotazioni, ma sinceramente non ne ho voglia. Per convincerti che quello che dico non sono scemenze, ti dico questo: è possibile costruire una bigezione fra $(0,1)$ e $\mathbb{R}$, anche se uno è un intervallo "piccolo" e l'altro è l'insieme di tutti i reali.
A proposito, nella domanda hai usato l'espressione "base canonica", ma non mi sembra tu abbia ben chiaro di cosa stiamo parlando. Prendendo come esempio il piano cartesiano, una base è un qualunque insieme di vettori coi quali si possono rappresentare in modo unico tutti gli elementi dello spazio
Ciao tommy, ti ringrazio per avermi risposto e non aver gettato la spugna seppur sia stato confuso e abbia scritto un papiro, mi stai aiutando molto e te ne sono grato davvero.
Ti rispondo per punti così ti viene anche più facile rispondere dopo.
Per base canonica in $R^2$ intendevo quella che ha come numeri nelle entrate della matrice colonna $(1,0)$ e $(0,1)$.
Solo che $R^2$ è diverso dai vettori sul piano (freccette) come concetto e il prof ha detto che con un isomorfismo si può legare la base canonica di R con due vettori del piano cartaceo V senza problemi.
Il punto è questo:
(Questa immagine chiarisce meglio, si può anche zoommare un po' http://imageshack.com/a/img923/5470/FsqC3r.jpg i numeri incolonnati sono vettori, quelli scritti in riga sono le componenti rispetto a una base B indicata a lato della partentesi)
- una base possono essere due vettori qualunque (basta siano linearmente indipendenti), se quei due vettori storti, con un isomorfismo (isomorfismo 1 in figura) in $R^2$, li chiamassi $(2,1),(1,3)$ vedo che avrei legame biunivoco e sarebbero una base (ogni punto sul piano ha un valore rispetto a quelle coppie di numeri).
- Se quei due vettori storti li legassi con un isomorfismo diverso a due vettori $R^2$: $(1,0)$ e $(0,1)$ che è possibile, è solo una scelta diversa, allora noto che nell'angolo concavo avrò più punti da rappresentare con valori compresi nei reali tra (meno infinito, 0 che sono le componenti rispetto ai vettori storti) mentre per il convesso avrò meno punti da rappresentare con lo stesso "quantitativo speculare di numeri) da zero a + infinito. La stessa partizione di R da una parte rappresenta più punti (tramite componenti) e dall'altra meno, tutto sta nel capire se è possibile, se lo è quell'isomorfismo di $B'_2$ se non è possibile non vale e non posso legare la base canonica di $R^2 (1,0),(0,1)$ a quei due vettori storti
Spero di esser stato più chiaro, scusa se non lo sono stato.
Spero avrete voglia di chiarire il dubbio, e grazie davvero per l'aiuto a te e tutti del forum.
PS: hai ragionissima sulla differenza tra isomorfismo e biunivocità, deve essere un'applicazione lineare biunivoca mi ero spiegato malissimo
Ti rispondo per punti così ti viene anche più facile rispondere dopo.
"tommy1996q":
A proposito, nella domanda hai usato l'espressione "base canonica", ma non mi sembra tu abbia ben chiaro di cosa stiamo parlando.
Per base canonica in $R^2$ intendevo quella che ha come numeri nelle entrate della matrice colonna $(1,0)$ e $(0,1)$.
Solo che $R^2$ è diverso dai vettori sul piano (freccette) come concetto e il prof ha detto che con un isomorfismo si può legare la base canonica di R con due vettori del piano cartaceo V senza problemi.
Il punto è questo:
(Questa immagine chiarisce meglio, si può anche zoommare un po' http://imageshack.com/a/img923/5470/FsqC3r.jpg i numeri incolonnati sono vettori, quelli scritti in riga sono le componenti rispetto a una base B indicata a lato della partentesi)
- una base possono essere due vettori qualunque (basta siano linearmente indipendenti), se quei due vettori storti, con un isomorfismo (isomorfismo 1 in figura) in $R^2$, li chiamassi $(2,1),(1,3)$ vedo che avrei legame biunivoco e sarebbero una base (ogni punto sul piano ha un valore rispetto a quelle coppie di numeri).
- Se quei due vettori storti li legassi con un isomorfismo diverso a due vettori $R^2$: $(1,0)$ e $(0,1)$ che è possibile, è solo una scelta diversa, allora noto che nell'angolo concavo avrò più punti da rappresentare con valori compresi nei reali tra (meno infinito, 0 che sono le componenti rispetto ai vettori storti) mentre per il convesso avrò meno punti da rappresentare con lo stesso "quantitativo speculare di numeri) da zero a + infinito. La stessa partizione di R da una parte rappresenta più punti (tramite componenti) e dall'altra meno, tutto sta nel capire se è possibile, se lo è quell'isomorfismo di $B'_2$ se non è possibile non vale e non posso legare la base canonica di $R^2 (1,0),(0,1)$ a quei due vettori storti
Spero di esser stato più chiaro, scusa se non lo sono stato.
Spero avrete voglia di chiarire il dubbio, e grazie davvero per l'aiuto a te e tutti del forum.
PS: hai ragionissima sulla differenza tra isomorfismo e biunivocità, deve essere un'applicazione lineare biunivoca mi ero spiegato malissimo
Anzitutto grazie dell'apprezzamento!
Comunque nel primo punto hai ragione: è vero che una base di $\mathbb{R}^2$ può essere qualsiasi coppia ordinata di vettori linearmente indipendenti, e mi sembra tu abbia anche capito più o meno perché vale questa cosa
Nel secondo caso se ho capito bene quello che non ti torna è che nell'angolo $\alpha$ ci siano "meno punti" che nell'angolo $\gamma$, eppure entrambi si parametrizzano con certi intervalli di numeri reali che sono però equipotenti. Se consideri la base come i vettori storti dell'angolo, le coordinate dei punti nell'angolo $\alpha$ e nel suo opposto sono del tipo $(a,b)$ con $a,b$ concordi, mentre i punti nell'angolo concavo avranno coordinate discordi. Ti puoi immaginare di prendere il classico piano cartesiano e stiracchiarlo un po', facendo avvicinare due assi e facendo allontanare gli altri. Quello che devi capire è che in realtà non c'è nessun problema, perchè le due porzioni di piano (considerate come insiemi) sono equipotenti. Non conta niente che a occhio una parte sembri più "piccola" dell'altra.
Ti fornisco un esempio che dovrebbe chiarire i tuoi dubbi. L'altra volta ti avevo invitato a prendere $(0,1)$ e $\mathbb{R}$, stavolta ti faccio vedere una semplicissima bigezione fra $(-\pi/2, \pi/2) \times (-\pi/2,\pi/2)$ e $\mathbb{R}^2$. La bigezione è data da $(x,y) \to (\tan(x),\tan(y))$. Ecco quindi che un quadratino limitato di lato $\pi$ è in bigezione con tutto il piano, ed ecco perché se ragioni a occhio con gli infiniti sbagli 99 volte su 100
Comunque nel primo punto hai ragione: è vero che una base di $\mathbb{R}^2$ può essere qualsiasi coppia ordinata di vettori linearmente indipendenti, e mi sembra tu abbia anche capito più o meno perché vale questa cosa
Nel secondo caso se ho capito bene quello che non ti torna è che nell'angolo $\alpha$ ci siano "meno punti" che nell'angolo $\gamma$, eppure entrambi si parametrizzano con certi intervalli di numeri reali che sono però equipotenti. Se consideri la base come i vettori storti dell'angolo, le coordinate dei punti nell'angolo $\alpha$ e nel suo opposto sono del tipo $(a,b)$ con $a,b$ concordi, mentre i punti nell'angolo concavo avranno coordinate discordi. Ti puoi immaginare di prendere il classico piano cartesiano e stiracchiarlo un po', facendo avvicinare due assi e facendo allontanare gli altri. Quello che devi capire è che in realtà non c'è nessun problema, perchè le due porzioni di piano (considerate come insiemi) sono equipotenti. Non conta niente che a occhio una parte sembri più "piccola" dell'altra.
Ti fornisco un esempio che dovrebbe chiarire i tuoi dubbi. L'altra volta ti avevo invitato a prendere $(0,1)$ e $\mathbb{R}$, stavolta ti faccio vedere una semplicissima bigezione fra $(-\pi/2, \pi/2) \times (-\pi/2,\pi/2)$ e $\mathbb{R}^2$. La bigezione è data da $(x,y) \to (\tan(x),\tan(y))$. Ecco quindi che un quadratino limitato di lato $\pi$ è in bigezione con tutto il piano, ed ecco perché se ragioni a occhio con gli infiniti sbagli 99 volte su 100
Grazie 
Eh si il punto era proprio quello, non capivo come una parte di piano più grande potesse essere rappresentabile con una partizione di una quantità di numeri.
Mi hai confermato che era un assurdo solo intuitivo e non vero.
Tra l'altro mi è sorto un altro dubbio mentre scrivevo la domanda, non ho ben capito se quando creo l'isomorfismo tra V qualunque e le n-uple dello spazio $R^n$
Mettiamo io abbia:
[img]
Non capisco come interpretarlo nei due modi:
1) Nella figura a sinistra chiamo i due vettori che come coordinate hanno x=2, y=1 e x=1 e y=3 e posso creare un isomorfismo con $R^n$ e chiamerò base i vettori ennuple $((2),(1))$ e $((1),(3))$
Oppure l'isomorfismo si crea invece così:
2) Consideriamo gli stessi vettori di prima (freccette di prima) come base, essi li chiamo tramite isomorfismo sempre $((1),(0))$ e l'altro $((0),(1))$ tramite l'isomorfismo $V->R^2$
In altre parole l'isomorfismo si crea sempre tra due qualunque vettori indipendenti verso la base canonica di $R^n$ oppure posso crearlo chiamando due freccette a caso con n-uple diverse tipo appunto: $((2),(1))$ e $((1),(3))$
Eh si il punto era proprio quello, non capivo come una parte di piano più grande potesse essere rappresentabile con una partizione di una quantità di numeri.
Mi hai confermato che era un assurdo solo intuitivo e non vero.
Tra l'altro mi è sorto un altro dubbio mentre scrivevo la domanda, non ho ben capito se quando creo l'isomorfismo tra V qualunque e le n-uple dello spazio $R^n$
Mettiamo io abbia:
[img]
Non capisco come interpretarlo nei due modi:
1) Nella figura a sinistra chiamo i due vettori che come coordinate hanno x=2, y=1 e x=1 e y=3 e posso creare un isomorfismo con $R^n$ e chiamerò base i vettori ennuple $((2),(1))$ e $((1),(3))$
Oppure l'isomorfismo si crea invece così:
2) Consideriamo gli stessi vettori di prima (freccette di prima) come base, essi li chiamo tramite isomorfismo sempre $((1),(0))$ e l'altro $((0),(1))$ tramite l'isomorfismo $V->R^2$
In altre parole l'isomorfismo si crea sempre tra due qualunque vettori indipendenti verso la base canonica di $R^n$ oppure posso crearlo chiamando due freccette a caso con n-uple diverse tipo appunto: $((2),(1))$ e $((1),(3))$
Intanto lasciamo stare un attimo le dimensioni più alte, tanto non cambia nulla. La risposta è che puoi cambiare base come ti pare, basta mandare sue vettori linearmente indipendenti in due vettori linearmente indipendenti. Se prendi due vettori linearmente indipendenti con due vettori tipo $(2,1)$ e $(1,3)$, allora hai praticamente detto che hai cambiato base in modod tale che i vettori scelti abbiano quelle coordinate lì
P.S. : Evita di confondere $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{R}^2$, se parliamo di una cosa specifica usa la dimensione giusta
P.S.S. : Scordati che i vettori siano freccette. In alcuni casi certamente aiuta pensarli così ed è anzi molto vantaggioso (tipo in Fisica), ma a livello matematico non ha senso. Basti pensare a spazi vettoriali tipo $\mathbb{R}^4$, spazi di matrici o spazi di omomorfismi per non poter più avere una rappresentazione grafica dei vettori. I vettori sono elementi di uno spazio vettoriale. Punto.
P.S. : Evita di confondere $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{R}^2$, se parliamo di una cosa specifica usa la dimensione giusta
P.S.S. : Scordati che i vettori siano freccette. In alcuni casi certamente aiuta pensarli così ed è anzi molto vantaggioso (tipo in Fisica), ma a livello matematico non ha senso. Basti pensare a spazi vettoriali tipo $\mathbb{R}^4$, spazi di matrici o spazi di omomorfismi per non poter più avere una rappresentazione grafica dei vettori. I vettori sono elementi di uno spazio vettoriale. Punto.
E hai ragione anche su questo, sono piccole distrazioni ma in realtà è importante tenere la coerenza quando si spiega. Starò più attento .
Quindi è come avessi mandato le componenti di V nei vettori n-upla $((2),(1))$ e $((1),(3))$ dello spazio $ R^2$ . Ho ben compreso la spiegazione?
Grazie ancora per il tuo aiuto.
PS: ho capito come inserire l'immagine finalmente, nel caso fosse poco chiaro.
."tommy1996q":
Se prendi due vettori linearmente indipendenti con due vettori tipo $(2,1)$ e $(1,3)$, allora hai praticamente detto che hai cambiato base in modod tale che i vettori scelti abbiano quelle coordinate lì
Quindi è come avessi mandato le componenti di V nei vettori n-upla $((2),(1))$ e $((1),(3))$ dello spazio $ R^2$ . Ho ben compreso la spiegazione?
Grazie ancora per il tuo aiuto.
PS: ho capito come inserire l'immagine finalmente, nel caso fosse poco chiaro.
"lillio":
Grazie
Eh si il punto era proprio quello, non capivo come una parte di piano più grande potesse essere rappresentabile con una partizione di una quantità di numeri.
Mi hai confermato che era un assurdo solo intuitivo e non vero.
Tra l'altro mi è sorto un altro dubbio mentre scrivevo la domanda, non ho ben capito se quando creo l'isomorfismo tra V qualunque e le n-uple dello spazio $R^n$
Mettiamo io abbia:
[img]
Non capisco come interpretarlo nei due modi:
1) Nella figura a sinistra chiamo i due vettori che come coordinate hanno x=2, y=1 e x=1 e y=3 e posso creare un isomorfismo con $R^n$ e chiamerò base i vettori ennuple $((2),(1))$ e $((1),(3))$
Oppure l'isomorfismo si crea invece così:
2) Consideriamo gli stessi vettori di prima (freccette di prima) come base, essi li chiamo tramite isomorfismo sempre $((1),(0))$ e l'altro $((0),(1))$ tramite l'isomorfismo $V->R^2$
In altre parole l'isomorfismo si crea sempre tra due qualunque vettori indipendenti verso la base canonica di $R^n$ oppure posso crearlo chiamando due freccette a caso con n-uple diverse tipo appunto: $((2),(1))$ e $((1),(3))$
La distinzione fra coordinate e vettori è importante, ma nel tuo esempio si vede poco perché già lavori con $\mathbb{R}^2$.
Adesso farò le cose in modo formale. Prendiamo lo spazio vettoriale $\mathbb{R}^2$. Scelgo la base canonica. Allora il vettore $(a,b)$ avrà coordinate $(a,b)$ in tale base. Infatti $(a,b)= a(1,0)+b(0,1)$. Se scelgo un'altra base le due cose cambiano.
Quando dici di mandare le componenti di V mi dispiace ma non capisco cosa intendi
Adesso farò le cose in modo formale. Prendiamo lo spazio vettoriale $\mathbb{R}^2$. Scelgo la base canonica. Allora il vettore $(a,b)$ avrà coordinate $(a,b)$ in tale base. Infatti $(a,b)= a(1,0)+b(0,1)$. Se scelgo un'altra base le due cose cambiano.
Quando dici di mandare le componenti di V mi dispiace ma non capisco cosa intendi
Non è facile spiegare per brevi messaggi, dovresti leggerti un'introduzione all'algebra lineare e agli spazi vettoriali
"tommy1996q":
Quando dici di mandare le componenti di V mi dispiace ma non capisco cosa intendi
Intendevo voler creare un isomorfismo tra V (costituito da v generici vettori qualunque essi siano freccette o altro) e i vettori R^n
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