Isomorfismo tra spazi vettoriali
devo dimostrare che i due spazi vettoriali $k^2$ e $KxK$ sono isomorfi fra loro.
dunque innanzitutto dire che sono isomorfi significa che esiste una funzione $rho:K^2 to KxK$, che è lineare e biettiva.
1)Iniettiva
dire che è iniettiva significa che
$ AA f,g in K^2 rho(f)=rho(g) $ se $f=g$
ora $f in K^2$ e questo significa che $f:{1.2} to {1,2}$
poichè conoscere una funzione significa sapere cosa essa fa su ogni elemento del dominio, allora $rho(f)={f(1),f(2)}$ e $rho(g)={g(1),g(2)}$
dunque dire che $rho(f)=rho(g)$ allora
$(f(1),f(2))=(g(1),g(2))$. due coppie ordinate sono uguali se $f(1)=g(1)$ e $f(2)=g(2)$. dunque f è iniettiva.
2)suriettiva
dire che$rho$ è suriettiva significa che
$ AA a,b in KxK$ e $ AA f in K^2$ allora $rho(f)=(a,b)$
ma $rho(f)={f(1),f(2)}$ e dunque basta imporre che $f(1)=a$ e $f(2)=b$
qualcuno mi può dire se fin qui il mio ragionamento è giusto? poi passo a cercare di dimostrare che è lineare...
dunque innanzitutto dire che sono isomorfi significa che esiste una funzione $rho:K^2 to KxK$, che è lineare e biettiva.
1)Iniettiva
dire che è iniettiva significa che
$ AA f,g in K^2 rho(f)=rho(g) $ se $f=g$
ora $f in K^2$ e questo significa che $f:{1.2} to {1,2}$
poichè conoscere una funzione significa sapere cosa essa fa su ogni elemento del dominio, allora $rho(f)={f(1),f(2)}$ e $rho(g)={g(1),g(2)}$
dunque dire che $rho(f)=rho(g)$ allora
$(f(1),f(2))=(g(1),g(2))$. due coppie ordinate sono uguali se $f(1)=g(1)$ e $f(2)=g(2)$. dunque f è iniettiva.
2)suriettiva
dire che$rho$ è suriettiva significa che
$ AA a,b in KxK$ e $ AA f in K^2$ allora $rho(f)=(a,b)$
ma $rho(f)={f(1),f(2)}$ e dunque basta imporre che $f(1)=a$ e $f(2)=b$
qualcuno mi può dire se fin qui il mio ragionamento è giusto? poi passo a cercare di dimostrare che è lineare...
Risposte
Ho un po' di problemi nel seguirti. Anzitutto un po' di notazioni, con $K$ indichi un generico campo vero?
Poi io ti suggerirei piuttosto che provare così la biettività di ricorrere a varie relazioni. Se il $ker$ è banale, allora sai che $f$ è ingettiva, inoltre sai che vale $dim K^2=dim Im rho + dim Ker rho$, che penso potrebbe tornarti utile.
Io cercherei prima un'applicazione, dimostro che è lineare e determinato il $ker$ ho finito. Senza imbarcarmi in troppi calcoli.
Poi io ti suggerirei piuttosto che provare così la biettività di ricorrere a varie relazioni. Se il $ker$ è banale, allora sai che $f$ è ingettiva, inoltre sai che vale $dim K^2=dim Im rho + dim Ker rho$, che penso potrebbe tornarti utile.
Io cercherei prima un'applicazione, dimostro che è lineare e determinato il $ker$ ho finito. Senza imbarcarmi in troppi calcoli.
si con $K$ indico un generico campo. il problema è che non ho la minima idea di cosa sia ker ne dim. l'unica cosa che so è cosa significa coppia ordinata,funzione biettiva, spazio vettoriale, funzione lineare.
E come sono fatti gli elementi di $K^2$?
Se hai studiato le applicazioni lineari subito credo abbiate introdotto $ker$ ed $Im$,no?
Altrimenti ti consiglio di dargli un'occhiata è una cosa importantissima.
Se hai studiato le applicazioni lineari subito credo abbiate introdotto $ker$ ed $Im$,no?
Altrimenti ti consiglio di dargli un'occhiata è una cosa importantissima.
io non ho ancora studiato le applicazioni lineari.
Siano $V,W$ spazio vettoriali su $K$. Una funzione $f:V to W$ è detta lineare se:
1)$ AA v,w in V$ si ha che $ f(v+w)=f(v)+f(w)$
2)$ AA lambda in K AA v in V $ $ f(lambdav)=lambdaf(v)$
se f è biettiva allora è un isomorfismo. due spazi vettoriali si dicono isomorfi se c'è isomorfismo tra loro.
quindi gli elementi di $K^2$ sono funzioni che vanno dal segmento di 2 a $K$. può darsi che l'ultima cosa che ho detto sia una stupidata, ma questo è tutto ciò che so sulle funzioni lineari
Siano $V,W$ spazio vettoriali su $K$. Una funzione $f:V to W$ è detta lineare se:
1)$ AA v,w in V$ si ha che $ f(v+w)=f(v)+f(w)$
2)$ AA lambda in K AA v in V $ $ f(lambdav)=lambdaf(v)$
se f è biettiva allora è un isomorfismo. due spazi vettoriali si dicono isomorfi se c'è isomorfismo tra loro.
quindi gli elementi di $K^2$ sono funzioni che vanno dal segmento di 2 a $K$. può darsi che l'ultima cosa che ho detto sia una stupidata, ma questo è tutto ciò che so sulle funzioni lineari
comunque per finire il ragionamento, devo dire che $rho:K^2 to KxK$ è lineare. da quello che so io ragiono cosi:
1)$ AA f,g in K^2$ deve essere $rho(f+g)=rho(f)+rho(g)$
quindi $rho(f+g)=((f+g)(1),(f+g)(2))$
che, per la definizione di + in $K^x$ ciò è uguale a $(f(1)+g(1),f(2)+g(2))$
prendendo invece
$rho(f)+rho(g)=(f(1),f(2))+(g(1),g(2))$ che per definizione di + in $KxK$ è $(f(1)+g(1),f(2)+g(2))$
2) $AA lambda in K AA f in KxK$ allora $lambdarho(f)=rho(lambdaf)$
per definizione di prodotto per uno scalare in $K^x$
a)$lambdarho(f)=(lambdaf(1),lambdaf(2))$
b)$rho(lambdaf)=(lambdaf(1),lambdaf(2))$
se cosi fosse giusto avrei vinto...la cosa che non mi convince è la dimostrazione 2) della linearità
1)$ AA f,g in K^2$ deve essere $rho(f+g)=rho(f)+rho(g)$
quindi $rho(f+g)=((f+g)(1),(f+g)(2))$
che, per la definizione di + in $K^x$ ciò è uguale a $(f(1)+g(1),f(2)+g(2))$
prendendo invece
$rho(f)+rho(g)=(f(1),f(2))+(g(1),g(2))$ che per definizione di + in $KxK$ è $(f(1)+g(1),f(2)+g(2))$
2) $AA lambda in K AA f in KxK$ allora $lambdarho(f)=rho(lambdaf)$
per definizione di prodotto per uno scalare in $K^x$
a)$lambdarho(f)=(lambdaf(1),lambdaf(2))$
b)$rho(lambdaf)=(lambdaf(1),lambdaf(2))$
se cosi fosse giusto avrei vinto...la cosa che non mi convince è la dimostrazione 2) della linearità
io non ho capito perchè prendi $f,g$ funzioni (da dove a dove)? se $K^2$ è uno spazio vettoriale di dim $2$, quindo formato da vettori a valori in $K$.
perchè i vettori di $K^2$ sono funzioni che vanno da ${1,2} to K$
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