Isomorfismo tra spazi vettoriali

[Andrea902]

Buonasera a tutti!
Non mi è chiaro un ragionamento, che tento di esporre nel seguito:
Siano assegnati due spazi vettoriali $M$ ed $N$ tali che $text(dim)M=text(dim)N$. Siano assegnate due basi: una di $M$ ed una di $N$:
- base di $M$: $m_1,m_2,...,m_n$;
- base di $N$: $m_1',m'_2,...,m'_n$.
Vogliamo definire un'applicazione lineare da $g:M->N$ e lo facciamo come segue:
$g(m_1)=m'_1$, $g(m_2)=m'_2$, ..., $g(m_n)=m'_n$.
Sicuramente tale applicazione ha senso dal momento che è possibile assegnare univocamente un'applicazione lineare una volta fissata una base di $M$ e dei vettori arbitrari di $N$ (nel nostro caso abbiamo scelto i vettori che compongono una base dello stesso $N$).
Nei miei appunti trovo scritto che l'applicazione così definita è biiettiva, sicchè $g$ risulterebbe un isomorfismo. Come faccio a provare la biiettività? Dovrei provare la suriettività e la iniettività, ma come? In ogni caso, il ragionamento così steso è corretto?

[mistake89]

Basta solo osservare che se la dimensione è la stessa allora la cardinalità delle due basi è uguale. Quindi se assegni ad ogni vettore di $M$ uno ed un solo vettore di $N$ allora essa risulterà sicuramente suriettiva per quanto scritto sopra, quindi dal teorema della dimensione si ha che $kerf={0_v}$ cioè la $f$ è ingettiva.

[Andrea902]

"mistake89": quindi dal teorema della dimensione si ha che $kerf={0_v}$ cioè la $f$ è ingettiva.

Non mi è chiara questa affermazione... forse a causa della stanchezza! Potresti spiegarmi il passaggio intermedio? Grazie!

[mistake89]

Non c'è nessun passaggio intermedio. Forse non hai ancora visto il teorema che io citavo. Molto brevemente se siamo in dimensione finita ed abbiamo un'applicazione lineare $f:V->V'$
si ha che $dimV=dimKerf+dimImf$.

Quindi nel nostro caso essendo l'applicazione surgettiva ed essendo $dimN=dimM$ si ricava che $dimKerf=0$ cioè che è ingettiva.

[Andrea902]

Ah perfetto! Tutto chiaro... Ma tale ragionamento che ho illustrato, nel seguito dello studio delle applicazioni lineari avrà un ruolo di rilievo o devo considerarlo come una osservazione?