Isomorfismo tra $L(V,W)$ e $M_(m,n)(K)$
Buongiorno a tutti!
Devo provare un teorema, che di seguito enuncio, ma ho difficoltà in un punto della dimostrazione:
"Siano $V$, $W$ due $K$ e siano $A=[v_1,...,v_n]$ e $B=[w_1,...,w_m]$ rispettivamente una base di $V$ e una base di $W$. L'applicazione: $M_(A,B): L(V,W)->M_(m,n)(K)$ è un isomorfismo di $K$-spazi vettoriali".
Ho denotato con $L(V,W)$ lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari, con $M_(m,n)(K)$ lo spazio vettoriale delle matrici del tipo $m*n$ e con $M_(A,B)(f)$ la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi $A$ e $B$.
I passi della dimostrazione sono:
1) Dimostrare che l'applicazione definita è lineare (e l'ho fatto senza problemi);
2) Dimostrare che tale applicazione lineare è iniettiva e suriettiva (come da suggerimento... in realtà io avrei pensato a ricercare l'eventuale applicazione inversa, ma mi attengo al suggerimento!)
Ho un dubbio riguardo la prova dell'iniettività e non ho capito come stendere la dimostrazione della suriettività:
Iniettività: si supponga che $M_(A,B)(f)=M_(A,B)(g)$. Si dovrà provare che $f=g$. In riferimento alla prima colonna della matrice in oggetto è evidente che fornirà le componenti del vettore $f(v_1)$ sia rispetto ad $f$ che rispetto a $g$, quindi $f(v_1)=g(v_1)$. Analogamente per tutte le altre colonne e quindi posto: $f(v_1)=g(v_1)=u_1$,...,$f(v_n)=g(v_n)=u_n$ e considerando che $f(v_1),...,f(v_n)$ possono essere determinati dal momento che sono note le loro componenti rispetto alla base $B$, si è ottenuto che: $f,g:v_1->u_1$,...,$f,g:v_n->u_n$, e perciò: $f=g$. E' giusto il ragionamento?
Suriettività: vi illustro l'idea: devo dimostrare che ogni matrice $C=((a_(11),...,a_(1n)), (a_(21),...,a_(2n)),(...,...,...),(a_(m1),...,a_(mn)))inM_(mn)(K)$ è la corrispondente di una applicazione lineare rispetto alle basi $A$ e $B$ e quindi mi chiedo se $EEhinL(V,W):M_(A,B)(h)=C$. Come provo la suriettività seguendo questa idea?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Devo provare un teorema, che di seguito enuncio, ma ho difficoltà in un punto della dimostrazione:
"Siano $V$, $W$ due $K$ e siano $A=[v_1,...,v_n]$ e $B=[w_1,...,w_m]$ rispettivamente una base di $V$ e una base di $W$. L'applicazione: $M_(A,B): L(V,W)->M_(m,n)(K)$ è un isomorfismo di $K$-spazi vettoriali".
Ho denotato con $L(V,W)$ lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari, con $M_(m,n)(K)$ lo spazio vettoriale delle matrici del tipo $m*n$ e con $M_(A,B)(f)$ la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi $A$ e $B$.
I passi della dimostrazione sono:
1) Dimostrare che l'applicazione definita è lineare (e l'ho fatto senza problemi);
2) Dimostrare che tale applicazione lineare è iniettiva e suriettiva (come da suggerimento... in realtà io avrei pensato a ricercare l'eventuale applicazione inversa, ma mi attengo al suggerimento!)
Ho un dubbio riguardo la prova dell'iniettività e non ho capito come stendere la dimostrazione della suriettività:
Iniettività: si supponga che $M_(A,B)(f)=M_(A,B)(g)$. Si dovrà provare che $f=g$. In riferimento alla prima colonna della matrice in oggetto è evidente che fornirà le componenti del vettore $f(v_1)$ sia rispetto ad $f$ che rispetto a $g$, quindi $f(v_1)=g(v_1)$. Analogamente per tutte le altre colonne e quindi posto: $f(v_1)=g(v_1)=u_1$,...,$f(v_n)=g(v_n)=u_n$ e considerando che $f(v_1),...,f(v_n)$ possono essere determinati dal momento che sono note le loro componenti rispetto alla base $B$, si è ottenuto che: $f,g:v_1->u_1$,...,$f,g:v_n->u_n$, e perciò: $f=g$. E' giusto il ragionamento?
Suriettività: vi illustro l'idea: devo dimostrare che ogni matrice $C=((a_(11),...,a_(1n)), (a_(21),...,a_(2n)),(...,...,...),(a_(m1),...,a_(mn)))inM_(mn)(K)$ è la corrispondente di una applicazione lineare rispetto alle basi $A$ e $B$ e quindi mi chiedo se $EEhinL(V,W):M_(A,B)(h)=C$. Come provo la suriettività seguendo questa idea?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Risposte
Forse sono arrivato alla conclusione:
Considerati i vettori della base $A$ di $V$ che abbiamo fissato e considerati $n$ vettori arbitrari in $W$, sappiamo che esiste ed è unica l'applicazione lineare che associa a ciascuno dei vettori della base $A$ un vettore arbitrario di $W$. Ovviamente, avendo fissato in $W$ una base, tali $n$ vettori saranno esprimibili come opportune combinazioni lineari; per fissare le idee si avrà:
$h(v_1)=a_(11)w_1+...+a_(m1)w_m inW$, $h(v_2)=a_(12)w_1+...+a_(m2)w_m inW$, ..., $h(v_n)=a_(1n)w_1+...+a_(mn)w_m inW$.
Evidentemente risulta:
$M_(A,B)(h)=((a_(11),...,a_(1n)), (...,...,...), (a_(m1),...,a_(mn)))$ e tale matrice è proprio uguale a $C$.
Giusto?
Considerati i vettori della base $A$ di $V$ che abbiamo fissato e considerati $n$ vettori arbitrari in $W$, sappiamo che esiste ed è unica l'applicazione lineare che associa a ciascuno dei vettori della base $A$ un vettore arbitrario di $W$. Ovviamente, avendo fissato in $W$ una base, tali $n$ vettori saranno esprimibili come opportune combinazioni lineari; per fissare le idee si avrà:
$h(v_1)=a_(11)w_1+...+a_(m1)w_m inW$, $h(v_2)=a_(12)w_1+...+a_(m2)w_m inW$, ..., $h(v_n)=a_(1n)w_1+...+a_(mn)w_m inW$.
Evidentemente risulta:
$M_(A,B)(h)=((a_(11),...,a_(1n)), (...,...,...), (a_(m1),...,a_(mn)))$ e tale matrice è proprio uguale a $C$.
Giusto?
Nessuna idea e/o correzione?
E' un argomento abbastanza fastidioso, ecco perché non ricevi spunti. Però è trattato piuttosto bene sulle dispense di M.Cailotto: http://www.math.unipd.it/~maurizio/g1/AGLQ910pp.pdf §II.3 pag.81 (numerazione del pdf).
Ti ringrazio!
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