Isomorfismo T:R^3->R^3 (Automorfismo)
da teoria un isomorfismo di uno spazio vettoriale su se stesso è definito un automorfismo
L'esercizio in questione mi chiede
Sia $T:R^3->R^3$ $(a,b,c)->(u,v,w)$ verificare che T è un automorfismo. $u=2a+b,v=2b+c,w=a+2c$
Determinare $T^-1(3,3,3)$
Per verificare che T è un automorfismo, basta verificare che sia un isomorfismo!
Dunque da teoria $T:V->V'$ è isomorfismo sse esiste $T^-1:V'->V$ che sia isomorfismo (V e V' coincidono con $R^3$)
Esiste $T^-1$ se il $det(A)=0$ dove A è la matrice associata a $T$. Mi sono calcolato il $det(A)!=0$ quindi adesso devo verificare che sia isomorfismo? Penso proprio di si.... quindi se sono unici i vettori che rendo la funzione avremo
$T^-1(u)=a$ $T^-1(v)=b$ $T^-1(w)=c$ e $u=T(a)$ $v=T(b)$ $w=T(c)$
$T^-1(\alpha u+\beta v + \gamma w)=T^-1(\alpha T(a)+\beta T(b) + \gamma T(c)=
$=T^-1(T(\alpha a+\beta b + \gamma c))$
$=\alpha a+\beta b + \gamma c$
$=\alpha T^-1(a)+\beta T^-1(v) + \gamma T^-1(w)$
Dopo aver dimostrato che è un isomorfismo come faccio a Determinare $T^-1(3,3,3)$?
devo far mica un sistema del tipo
2a+b=3
2b+c=3
a+2c=3
e risolverlo trovando a,b,c?
Oh grazie a chi ha letto ^_^ questo lo devo dire sin da ora! XD
L'esercizio in questione mi chiede
Sia $T:R^3->R^3$ $(a,b,c)->(u,v,w)$ verificare che T è un automorfismo. $u=2a+b,v=2b+c,w=a+2c$
Determinare $T^-1(3,3,3)$
Per verificare che T è un automorfismo, basta verificare che sia un isomorfismo!
Dunque da teoria $T:V->V'$ è isomorfismo sse esiste $T^-1:V'->V$ che sia isomorfismo (V e V' coincidono con $R^3$)
Esiste $T^-1$ se il $det(A)=0$ dove A è la matrice associata a $T$. Mi sono calcolato il $det(A)!=0$ quindi adesso devo verificare che sia isomorfismo? Penso proprio di si.... quindi se sono unici i vettori che rendo la funzione avremo
$T^-1(u)=a$ $T^-1(v)=b$ $T^-1(w)=c$ e $u=T(a)$ $v=T(b)$ $w=T(c)$
$T^-1(\alpha u+\beta v + \gamma w)=T^-1(\alpha T(a)+\beta T(b) + \gamma T(c)=
$=T^-1(T(\alpha a+\beta b + \gamma c))$
$=\alpha a+\beta b + \gamma c$
$=\alpha T^-1(a)+\beta T^-1(v) + \gamma T^-1(w)$
Dopo aver dimostrato che è un isomorfismo come faccio a Determinare $T^-1(3,3,3)$?
devo far mica un sistema del tipo
2a+b=3
2b+c=3
a+2c=3
e risolverlo trovando a,b,c?
Oh grazie a chi ha letto ^_^ questo lo devo dire sin da ora! XD
Risposte
Esatto, devi risolvere il sistema $Tx=(3,3,3)$ 
Sulla determinazione della controimmagine di $(3,3,3)$ è giusto quel metodo lì.
Quanto al fatto che sia o meno isomorfismo, c'è qualche passaggio che mi sfugge, ma potrei non aver capito io.
$T^(-1)(u)$ cos'è? a me pare che $u$ sia la componente del vettore immagine, quindi non un vettore. Se così fosse tale scrittura non avrebbe alcun senso. Idem per gli altri.
Comunque in generale, verificare che un'applicazione è isomorfismo equivale a verificare che sia ingettiva e surgettiva ( il che con il teorema della dimensione di uno spazio vettoriale è tutto fuor che difficile!). Quando ti trovi in presenza, come in questo caso, di un'applicazione tra due spazi di egual dimensione, ti basta verificare una della due e basta.
Quindi credo, che anziché calcolarsi determinanti e controimmagini, sia meglio determinare il $ker$ e vedere se esso è banale ad esempio. Con questa condizione, dovesse verificarsi, hai già finito.
Quanto al fatto che sia o meno isomorfismo, c'è qualche passaggio che mi sfugge, ma potrei non aver capito io.
$T^(-1)(u)$ cos'è? a me pare che $u$ sia la componente del vettore immagine, quindi non un vettore. Se così fosse tale scrittura non avrebbe alcun senso. Idem per gli altri.
Comunque in generale, verificare che un'applicazione è isomorfismo equivale a verificare che sia ingettiva e surgettiva ( il che con il teorema della dimensione di uno spazio vettoriale è tutto fuor che difficile!). Quando ti trovi in presenza, come in questo caso, di un'applicazione tra due spazi di egual dimensione, ti basta verificare una della due e basta.
Quindi credo, che anziché calcolarsi determinanti e controimmagini, sia meglio determinare il $ker$ e vedere se esso è banale ad esempio. Con questa condizione, dovesse verificarsi, hai già finito.
oh mistake89 se piomeno ho inquadrato questo esercizio è grazie ai tuoi precenti consigli... se adesso mi dici che c'è un modo più facile per verificare l'isomorfismo teo della dimensione, quando torno in puglia passo da bari e ti sbaciucco tutto XD
$T^-1(u)=a$ cioè essendo biettiva, esiste un unico elemento $u$ dell'inversa che sia uguale ad a... u si è una componente dell'immagine
Grazie thedarkhero ^_^
$T^-1(u)=a$ cioè essendo biettiva, esiste un unico elemento $u$ dell'inversa che sia uguale ad a... u si è una componente dell'immagine
Grazie thedarkhero ^_^
Ma tu devi dimostrare che questa applicazione è biettiva. Tra l'altro scrivere ciò che hai scritto non ha molto senso in quanto $u$ è una componente, mentre $T$ lavora su vettori di $RR^3$.
Prova a fare il calcolo che ti avevo suggerito e cercare di capire perchè
Prova a fare il calcolo che ti avevo suggerito e cercare di capire perchè
sia meglio determinare il ker e vedere se esso è banale ad esempio. Con questa condizione, dovesse verificarsi, hai già finito.
this?
Beh sì, sapendo però che vale la relazione [tex]dim\mathbb{R}^3=dim KerT + dim ImT[/tex]
beh allora
$A=((2,0,1),(0,2,-1/2),(0,0,-1/2))$ questa è la riduzione a scala
$r(A)=dimImf=3$ $dimR^3=n=3$
$dim kerf=n-r(A)=3-3=0$ e di qua so che è un monomorfismo quindi che è iniettiva...
per essere anche un epimorfismo deve avere $Imf=R^3$ o a quanto pare è la stessa cosa $dimImf=dimR^3$ indi $3=3$
Così ho verificato davvero banalmente che è un isomorfismo??
E' questo che intendevi mistake89?
e poi per Determinare $T^-1(3,3,3)$
faccio il sistema e ottengo
${2a+b=3$ ${b=3-2a$ ${b=5/3$
${2b+c=3$ ${c=3-6+4a$ ${c=-1/3$
${a+2c=3$ ${a+6-12+8a=3$ ${a=2/3$ e ho finito qui o devo esprimerla in modo diverso?
$A=((2,0,1),(0,2,-1/2),(0,0,-1/2))$ questa è la riduzione a scala
$r(A)=dimImf=3$ $dimR^3=n=3$
$dim kerf=n-r(A)=3-3=0$ e di qua so che è un monomorfismo quindi che è iniettiva...
per essere anche un epimorfismo deve avere $Imf=R^3$ o a quanto pare è la stessa cosa $dimImf=dimR^3$ indi $3=3$
Così ho verificato davvero banalmente che è un isomorfismo??
E' questo che intendevi mistake89?
e poi per Determinare $T^-1(3,3,3)$
faccio il sistema e ottengo
${2a+b=3$ ${b=3-2a$ ${b=5/3$
${2b+c=3$ ${c=3-6+4a$ ${c=-1/3$
${a+2c=3$ ${a+6-12+8a=3$ ${a=2/3$ e ho finito qui o devo esprimerla in modo diverso?
Se i conti son giusti è esatto!
Passare per le controimmagini e verificare che sono uniche può essere lungo e fastidioso come processo. Quel teorema ci semplifica e di molto la vita.
Passare per le controimmagini e verificare che sono uniche può essere lungo e fastidioso come processo. Quel teorema ci semplifica e di molto la vita.
Eh pzz mistake89!! 
Esercizio simile... se qualcuno mi dici ok il procedimento fila stanotte dormo un po più tranquillo 
se non fila ditemelo
Sia dato lo spazio vettoriale reale E di dimension 3 e sia [tex]B=(e_i)[/tex] la base fissata! Siano u(4,5,0) v(10,-1,0) w(-5,5,9) tre vettori di V e $\alpha in End(V)$ tale che $\alpha(e_1)=u$ $\alpha(e_2)=v$ $\alpha(e_3)=w$ Dimostrare che alfa è un automorfismo calcolare gli autovalori e gli autospazi di alfa
Allora teorema della dimensione
$DimV=DimKer_\alpha+DimImg_\alpha$
Dim V=3 DimImg=ottenuta dal rango=3 Quindi è un Epimorfismo dunque suriettiva
Dim ker=dim V - dim Img=3-3=0 Quindi è un Monomorfismo dunque iniettiva
Verificato che è un automorfismo... vabbè per trovare gli autovalori e gli autospazi
$det A=((4-\lambda,10,-5),(5,-1-\lambda,5),(0,0,9-\lambda)) =(4-\lambda)(-1-\lambda)(9-\lambda)-50(9-\lambda)=...=(\lambda-9)^2(\lambda-6)$
Gli autovalori sono 6 e 9
L'autospazio $|A-6U|$ ha dimensione 0 sbagliato vedere (*)
L'autospazio $|A-9U|$ ha dimensione 1
Finish
All right?
(*)L'autospazio $|A-6U|$ ha dimensione 1 (correzione dopo osservazione di mistake89)
se non fila ditemelo Sia dato lo spazio vettoriale reale E di dimension 3 e sia [tex]B=(e_i)[/tex] la base fissata! Siano u(4,5,0) v(10,-1,0) w(-5,5,9) tre vettori di V e $\alpha in End(V)$ tale che $\alpha(e_1)=u$ $\alpha(e_2)=v$ $\alpha(e_3)=w$ Dimostrare che alfa è un automorfismo calcolare gli autovalori e gli autospazi di alfa
Allora teorema della dimensione
$DimV=DimKer_\alpha+DimImg_\alpha$
Dim V=3 DimImg=ottenuta dal rango=3 Quindi è un Epimorfismo dunque suriettiva
Dim ker=dim V - dim Img=3-3=0 Quindi è un Monomorfismo dunque iniettiva
Verificato che è un automorfismo... vabbè per trovare gli autovalori e gli autospazi
$det A=((4-\lambda,10,-5),(5,-1-\lambda,5),(0,0,9-\lambda)) =(4-\lambda)(-1-\lambda)(9-\lambda)-50(9-\lambda)=...=(\lambda-9)^2(\lambda-6)$
Gli autovalori sono 6 e 9
L'autospazio $|A-6U|$ ha dimensione 0 sbagliato vedere (*)
L'autospazio $|A-9U|$ ha dimensione 1
Finish
All right?
(*)L'autospazio $|A-6U|$ ha dimensione 1 (correzione dopo osservazione di mistake89)
Ho controllato molto velocemente e la prima parte mi sembra fatta bene, ammesso che abbia scritto per bene la matrice associata ad $alpha$ rispetto alle basi canoniche; anzi alla base canonica di $RR^4$.
Però attenzione dopo!!! La molteplicità geometrica di un autovalore è la dimensione dello spazio vettoriale $V_lambda$ e non può mai essere $0$. Pertanto sicuramente qualcosa è da sistemare
Però attenzione dopo!!! La molteplicità geometrica di un autovalore è la dimensione dello spazio vettoriale $V_lambda$ e non può mai essere $0$. Pertanto sicuramente qualcosa è da sistemare
ho sbagliato il calcolo del rango per l'autovalore 6... ho controllato è 2 non 3 ...quindi modifico e metto dimensione 1
una domanda perchè ho paura di essermi scordato qualcosa... considerando il teo della dimensione
$Dim V=DimKer\alpha+DimImg\alpha$
per verificare se si parla di
1.
monomorfismo devo avere
$dim Ker\alpha=dimV-dimImg\alpha=0$
2.
epimorfismo devo avere
$dim V=dim Img \alpha$ ma in questo caso non si avrebbe $dim ker\alpha=0??$ o è indifferente la dimensione del ker?
credo sia indifferente perchè se no se si avesse verificata la condizione di epimorfismo e si avrebb che $dim Ker=0$ allora sarebbe epimorfismo giusto?
$Dim V=DimKer\alpha+DimImg\alpha$
per verificare se si parla di
1.
monomorfismo devo avere
$dim Ker\alpha=dimV-dimImg\alpha=0$
2.
epimorfismo devo avere
$dim V=dim Img \alpha$ ma in questo caso non si avrebbe $dim ker\alpha=0??$ o è indifferente la dimensione del ker?
credo sia indifferente perchè se no se si avesse verificata la condizione di epimorfismo e si avrebb che $dim Ker=0$ allora sarebbe epimorfismo giusto?
Ma infatti tu stai implicitamente considerando applicazioni lineari tra $V$ e $V$. In questo caso l'iniettività e la suriettività sono equivalenti, come puoi vedere con il ragionamento sulle dimensioni che hai abbozzato.
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