Isomorfismo su spazio di polinomi

[andreabs85]

Ciao a tutti. Premetto che sono fermo da un paio d'anni su geometria e algebra lineare, quindi probabilmente mi perdo in cose anche banali.
Mi è capitato il seguente esercizio e non so come risolverlo:

Siano $a \in \mathbb{R}$ e $T_a : \mathbb{R}_2 [t] \rightarrow \mathbb{R}^3$ l'applicazione lineare data da

$\forall p(t) \in \mathbb{R}_2 [t] : T_a (p(t)) = (p(-1), p(a), p(1))$.

Si trovino i valori di $a$ affinchè l'applicazione $T_a$ sia un isomorfismo.

Dunque, io di solito per verificare se un'applicazione sia o meno un omomorfismo parto dal vettor nullo, e osservo se l'applicazione manda il vettor nullo dello spazio di partenza nel vettor nullo dello spazio di arrivo. Se ciò accade proseguo verificando la linearità.
In questo caso però non so svolgere l'esercizio. Inoltre non capisco se per esempio considerassi $t=1$ quanto varrebbe $T_a (p(1))$?

[elvis3]

Dunque, io di solito per verificare se un'applicazione sia o meno un omomorfismo parto dal vettor nullo, e osservo se l'applicazione manda il vettor nullo dello spazio di partenza nel vettor nullo dello spazio di arrivo. Se ciò accade proseguo verificando la linearità.

Perché preoccuparsi di verificare la linearità di \(T_a\)? Il testo dell'esercizio già ti dice che \(T_a\) è un'applicazione lineare (cioè un omomorfismo).

In questo caso però non so svolgere l'esercizio.

Hint 1.
Se \(V\) e \(W\) sono spazi vettoriali aventi la stessa dimensione (finita) e \(f\,\colon V \to W\) è un'applicazione lineare, allora \(f\) è un isomorfismo se e solo se è iniettiva.

Hint 2.
Un'applicazione lineare \(f\,\colon V \to W\) è iniettiva se e solo se \(\ker f = \{x \in V \, | f(x) = 0\} = \{0\}\).