Isomorfismo \( \hom(V,W)\cong\hom(W^*,V^*) \) senza basi
Ciao. Siano \( V \) e \( W \) due spazi vettoriali su \( k \), di dimensione finita. Voglio provare che
\[
\hom_k(V,W)\cong\hom_k(W^*,V^*)
\] senza usare le basi.
La funzione \( \Psi\colon \phi\mapsto\phi^* \) che mappa un'applicazione lineare \( V\to W \) nella sua trasposta \( W^*\to V^* \) è lineare, quindi devo solo trovarne un'inversa.
È un fatto generale che un diagramma di spazi vettoriali e applicazioni lineari
Allora, data un'applicazione lineare \( \psi\colon W^*\to V^* \), definisco \( X(\psi) \) come l'unica applicazione che fa commutare
dove \( \epsilon\colon V\to V^{**} \) sono gli isomorfismi canonici \(v\mapsto\left[\xi\mapsto \xi\circ v\right] \), dove
\[
\begin{aligned}
{\circ}\colon V^*\times V&\to k\\
(\xi,v)&\mapsto\xi\circ v := \xi(v)
\end{aligned}
\] è la dualità canonica tra \( V \) e il suo duale.
So dimostrare che \( X\colon\psi\mapsto X(\psi) \) è lineare (e appena ho accesso a un computer decente aggiungo la dimostrazione, perché comunque non sono sicuro sia giustissima), ma non riesco a far vedere che è l'inversa di \( \Psi \).
P.s. Ho sbagliato sezione, sorry.
\[
\hom_k(V,W)\cong\hom_k(W^*,V^*)
\] senza usare le basi.
La funzione \( \Psi\colon \phi\mapsto\phi^* \) che mappa un'applicazione lineare \( V\to W \) nella sua trasposta \( W^*\to V^* \) è lineare, quindi devo solo trovarne un'inversa.
È un fatto generale che un diagramma di spazi vettoriali e applicazioni lineari
\begin{tikzcd}
A\ar[d] & B\ar[d]\\
C\ar[r] & D
\end{tikzcd} si completi in un unico modo.Allora, data un'applicazione lineare \( \psi\colon W^*\to V^* \), definisco \( X(\psi) \) come l'unica applicazione che fa commutare
dove \( \epsilon\colon V\to V^{**} \) sono gli isomorfismi canonici \(v\mapsto\left[\xi\mapsto \xi\circ v\right] \), dove
\[
\begin{aligned}
{\circ}\colon V^*\times V&\to k\\
(\xi,v)&\mapsto\xi\circ v := \xi(v)
\end{aligned}
\] è la dualità canonica tra \( V \) e il suo duale.
So dimostrare che \( X\colon\psi\mapsto X(\psi) \) è lineare (e appena ho accesso a un computer decente aggiungo la dimostrazione, perché comunque non sono sicuro sia giustissima), ma non riesco a far vedere che è l'inversa di \( \Psi \).
P.s. Ho sbagliato sezione, sorry.
Risposte
"marco2132k":Beh. Assolutamente no! Se le mappe verticali sono zero, qualsiasi coppia di mappe orizzontali fa commutare il quadrato.
È un fatto generale che un diagramma di spazi vettoriali e applicazioni lineari
si completi in un unico modo.
...e quindi niente, tutto il resto è sbagliato. O meglio, funziona perché le coevaluation verticali sono isomorfismi. Dati due isomorfismi c'è un unico lift etc etc.
Piuttosto, non c'è alcun motivo di toccare gli elementi: visto che \(V^\lor = \hom_k(V,k)\), quello che devi dimostrare è che
\[ \hom_k(V,W) \cong \hom_k(\hom_k(W,k),\hom_k(V,k))\] del resto RHS di questa supposta equazione è
\[
\begin{align*}
\hom_k(\hom_k(W,k),\hom_k(V,k)) &\cong \hom_k(V\otimes\hom_k(W,k),k) \\
&\cong (V\otimes\hom_k(W,k))^\lor \\
&\cong V^\lor \otimes W \\
&\cong \hom(V,W)
\end{align*}
\] questo si basa sul fatto che \((A\otimes B)^\lor\cong A^\lor \otimes B^\lor\), che è facile da dimostrare con la proprietà universale:
\[(A\otimes B)^\lor =\hom_k(A\otimes B,k)\cong \hom_k(A,B^\lor)\cong A^\lor\otimes B^\lor.\]
Sì, ovvio, ho dimenticato di scrivere che le verticali devono essere isi (?).
Non posso usare gli \({\otimes}\). (Cioè sì, posso, però il prof non li ha spiegati).
Non posso usare gli \({\otimes}\). (Cioè sì, posso, però il prof non li ha spiegati).
Vorrei far notare che tutti gli spazi vettoriali di una stessa dimensione finita sono isomorfi tra di loro, quindi la dimostrazione in sé è piuttosto banale[nota]Sempre che tu abbia dimostrato che \(\displaystyle \dim \hom(V,W) = \dim V \dim W \)[/nota]. Quello che mi sembra tu vuoi davvero fare è trovare un isomorfismo che possieda certe proprietà o meglio vuoi trovare un qualche modo canonico per associare questi due oggetti.
@vict85 L’esercizio chiedeva esplicitamente di far vedere che \(\phi\mapsto\phi^*\) è un isomorfismo (in dimensione finita).
Allora “con le basi” è ovvio: associare una lineare con la sua trasposta dà una lineare con nucleo nullo tra due spazi che hanno la stessa dimensione (le basi le usi sul “che hanno la stessa dimensione”). Senza basi, e coerentemente con quello che ho visto a lezione, mi era venuto questo.
Allora “con le basi” è ovvio: associare una lineare con la sua trasposta dà una lineare con nucleo nullo tra due spazi che hanno la stessa dimensione (le basi le usi sul “che hanno la stessa dimensione”). Senza basi, e coerentemente con quello che ho visto a lezione, mi era venuto questo.
"marco2132k":
@vict85 L’esercizio chiedeva esplicitamente di far vedere che \(\phi\mapsto\phi^*\) è un isomorfismo (in dimensione finita).
Allora “con le basi” è ovvio: associare una lineare con la sua trasposta dà una lineare con nucleo nullo tra due spazi che hanno la stessa dimensione (le basi le usi sul “che hanno la stessa dimensione”). Senza basi, e coerentemente con quello che ho visto a lezione, mi era venuto questo.
Siccome i due spazi hanno la stessa dimensione e quella funzione è lineare, ti basta dimostrare che quella funzione è iniettiva o suriettiva. Insomma per le applicazioni lineari \(f\colon V\to W\) vale \(\dim V = \dim \ker V + \dim f(V)\). Non ci ho ragionato molto però, non saprei quale sia l'approccio migliore tra i due.
"vict85":
Vorrei far notare che tutti gli spazi vettoriali di una stessa dimensione finita sono isomorfi tra di loro, quindi la dimostrazione in sé è piuttosto banale[nota]Sempre che tu abbia dimostrato che \(\displaystyle \dim \hom(V,W) = \dim V \dim W \)[/nota]. Quello che mi sembra tu vuoi davvero fare è trovare un isomorfismo che possieda certe proprietà o meglio vuoi trovare un qualche modo canonico per associare questi due oggetti.
"un isomorfismo" != "un isomorfismo naturale".
Ma quindi che \( X \) e \( \Psi \) sono inverse non si riesce a dimostrare? So che ci sono altre dimostrazioni più carine, ma questa è da buttare?
"marco2132k":
Ma quindi che \( X \) e \( \Psi \) sono inverse non si riesce a dimostrare? So che ci sono altre dimostrazioni più carine, ma questa è da buttare?
Secondo me hai voluto strafare e hai trascurato un po' la forma. Comunque hai definito una catena di applicazioni lineari \( \hom( V, W )\xrightarrow{\Psi} \hom( W^{\ast}, V^{\ast} )\xrightarrow{\widetilde{\Psi}} \hom( V^{\ast\ast}, W^{\ast\ast} ) \xrightarrow{\epsilon} \hom( V, W ) \) ma per ora solo l'ultima mappa è necessariamente un isomorfismo.
"solaàl":Lo so, volevo solo capire per bene cosa volesse davvero dimostrare.
"un isomorfismo" != "un isomorfismo naturale".
[xdom="vict85"]Sposto in algebra lineare e geometria anche se queste cose posso essere viste in modo totalmente algebrico.[/xdom]
Bah, a me sembrava molto naturale... Vogliamo trovare un'inversa di
\[
\begin{aligned}
\Psi\colon\hom_k(V,W) &\to\hom_k(W^*,V^*)\\
\phi &\mapsto\phi^*
\end{aligned}
\] Trovo naturale pensare che "la trasposta della trasposta di \( \phi \) è \( \phi \)"; quindi, vorrei definire \( X\colon\hom_k(W^*,V^*)\to\hom_k(V,W) \) esattamente come l'applicazione \( \psi\mapsto\psi^* \). Questo non posso farlo, perché così facendo otterrei una funzione \( V^{**}\to W^{**} \).
Qui interviene il fatto che, in una categoria qualsiasi, dati gli isomorfismi \( \epsilon_1\colon A\xrightarrow{{\cong}} C \) e \( B\xrightarrow{{\cong}} D \), c'è un'unica \( \phi \) che fa commutare il diagramma
Dominio e codominio di \( \psi^* \) sono due spazi canonicamente isomorfi a \( V \) e a \( W \), rispettivamente; allora, mi sembra sounding associare a \( \psi \) quell'unica funzione lineare, che chiamo già \( X(\psi) \), che fa commutare il diagramma
\[
\begin{aligned}
V&\to V^{**}\\
v&\mapsto\left[\xi\mapsto\xi\circ v\right]
\end{aligned}
\qquad
\begin{aligned}
W&\to W^{**}\\
w&\mapsto\left[\zeta\mapsto\zeta\circ w\right]
\end{aligned}
\] e dove \( {\circ} \) son le dualità canoniche.
Si vede subito che \( X \), definita così, è lineare: date \( \psi_1,\psi_2\colon W^*\to V^* \), facciamo vedere che il diagramma
Sappiamo che \( X(\psi_1) \) e \( X(\psi_2) \) sono definite in modo da far commutare, rispettivamente
Per ogni \( \zeta\in W^* \) e \( v\in V \), vale
\[
\begin{aligned}
\zeta\circ X(\psi_1)(v) &= \psi_1(\zeta)\circ v\\
\zeta\circ X(\psi_2)(v) &= \psi_2(\zeta)\circ v
\end{aligned}
\] dove, sommando membro a membro, si ottiene
\[
\zeta\circ\left(X(\psi_1)(v) + X(\psi_2)(v)\right) = \left(\psi_1(\zeta) + \psi_2(\zeta)\right)\circ v
\] da cui la tesi della commutatività del diagramma rettangolare
\[
\epsilon_2\circ\left(X(\psi_1) + X(\psi_2)\right) = (\psi_1 + \psi_2)^*\circ\epsilon_1
\]
\( \square \)
Ora manca da verificare che \( X\circ\Psi = 1 \) e \( \Psi\circ X = 1 \). Che forse si faccia in modo simile?
P.s. Alcune frecce hanno i puntini anche se non dovrebbero. I diagrammi sono inseriti come immagini; li ho generati su Quick\( \LaTeX \), e fare le modifiche è un casino. Quando cavolo rimettono xypic sul forum???
\[
\begin{aligned}
\Psi\colon\hom_k(V,W) &\to\hom_k(W^*,V^*)\\
\phi &\mapsto\phi^*
\end{aligned}
\] Trovo naturale pensare che "la trasposta della trasposta di \( \phi \) è \( \phi \)"; quindi, vorrei definire \( X\colon\hom_k(W^*,V^*)\to\hom_k(V,W) \) esattamente come l'applicazione \( \psi\mapsto\psi^* \). Questo non posso farlo, perché così facendo otterrei una funzione \( V^{**}\to W^{**} \).
Qui interviene il fatto che, in una categoria qualsiasi, dati gli isomorfismi \( \epsilon_1\colon A\xrightarrow{{\cong}} C \) e \( B\xrightarrow{{\cong}} D \), c'è un'unica \( \phi \) che fa commutare il diagramma
\begin{tikzcd}
A\ar[d, "{\cong}"{anchor=south, rotate=90, inner sep=.5mm}, "\epsilon_1"]\ar[r, dotted, "\phi"] & B\ar[d, "{\cong}"{anchor=south, rotate=90, inner sep=.5mm}, "\epsilon_2"]\\
C\ar[r, "\psi"] & D
\end{tikzcd} per ogni freccia \( \psi\colon C\to D \).Dominio e codominio di \( \psi^* \) sono due spazi canonicamente isomorfi a \( V \) e a \( W \), rispettivamente; allora, mi sembra sounding associare a \( \psi \) quell'unica funzione lineare, che chiamo già \( X(\psi) \), che fa commutare il diagramma
\begin{tikzcd}
V\ar[d, "{\cong}"{anchor=south, rotate=90, inner sep=.5mm}, "\epsilon_1"]\ar[r, dotted, "X(\psi)"] & W\ar[d, "{\cong}"{anchor=south, rotate=90, inner sep=.5mm}, "\epsilon_2"]\\
V^{**}\ar[r, "\psi^*"] & W^{**}
\end{tikzcd} dove \( \epsilon_1 \) e \( \epsilon_2 \) sono rispettivamente gli isomorfismi canonici\[
\begin{aligned}
V&\to V^{**}\\
v&\mapsto\left[\xi\mapsto\xi\circ v\right]
\end{aligned}
\qquad
\begin{aligned}
W&\to W^{**}\\
w&\mapsto\left[\zeta\mapsto\zeta\circ w\right]
\end{aligned}
\] e dove \( {\circ} \) son le dualità canoniche.
Si vede subito che \( X \), definita così, è lineare: date \( \psi_1,\psi_2\colon W^*\to V^* \), facciamo vedere che il diagramma
\begin{tikzcd}[column sep=huge]
V\ar[d, "{\cong}"{anchor=south, rotate=90, inner sep=.5mm}, "\epsilon_1"]\ar[r, dotted, "X(\psi_1) + X(\psi_2)"] & W\ar[d, "{\cong}"{anchor=south, rotate=90, inner sep=.5mm}, "\epsilon_2"]\\
V^{**}\ar[r, "(\psi_1 + \psi_2)^*"] & W^{**}
\end{tikzcd} commuta. Allora, siccome \( X(\psi_1 + \psi_2) \) è definita in modo da far commutare quel diagramma, dev'essere \( X(\psi_1) + X(\psi_2) = X(\psi_1 + \psi_2) \).Sappiamo che \( X(\psi_1) \) e \( X(\psi_2) \) sono definite in modo da far commutare, rispettivamente
\begin{tikzcd}
V\ar[d, "{\cong}"{anchor=south, rotate=90, inner sep=.5mm}, "\epsilon_1"]\ar[r, dotted, "X(\psi_1)"] & W\ar[d, "{\cong}"{anchor=south, rotate=90, inner sep=.5mm}, "\epsilon_2"]\\
V^{**}\ar[r, "\psi_1^*"] & W^{**}
\end{tikzcd}
\qquad
\begin{tikzcd}
V\ar[d, "{\cong}"{anchor=south, rotate=90, inner sep=.5mm}, "\epsilon_1"]\ar[r, dotted, "X(\psi_2)"] & W\ar[d, "{\cong}"{anchor=south, rotate=90, inner sep=.5mm}, "\epsilon_2"]\\
V^{**}\ar[r, "\psi_2^*"] & W^{**}
\end{tikzcd}Per ogni \( \zeta\in W^* \) e \( v\in V \), vale
\[
\begin{aligned}
\zeta\circ X(\psi_1)(v) &= \psi_1(\zeta)\circ v\\
\zeta\circ X(\psi_2)(v) &= \psi_2(\zeta)\circ v
\end{aligned}
\] dove, sommando membro a membro, si ottiene
\[
\zeta\circ\left(X(\psi_1)(v) + X(\psi_2)(v)\right) = \left(\psi_1(\zeta) + \psi_2(\zeta)\right)\circ v
\] da cui la tesi della commutatività del diagramma rettangolare
\[
\epsilon_2\circ\left(X(\psi_1) + X(\psi_2)\right) = (\psi_1 + \psi_2)^*\circ\epsilon_1
\]
\( \square \)
Ora manca da verificare che \( X\circ\Psi = 1 \) e \( \Psi\circ X = 1 \). Che forse si faccia in modo simile?
P.s. Alcune frecce hanno i puntini anche se non dovrebbero. I diagrammi sono inseriti come immagini; li ho generati su Quick\( \LaTeX \), e fare le modifiche è un casino. Quando cavolo rimettono xypic sul forum???
"marco2132k":
Bah, a me sembrava molto naturale... Vogliamo trovare un'inversa di
\[
\begin{aligned}
\Psi\colon\hom_k(V,W) &\to\hom_k(W^*,V^*)\\
\phi &\mapsto\phi^*
\end{aligned}
\] Trovo naturale pensare che "la trasposta della trasposta di \( \phi \) è \( \phi \)"; quindi, vorrei definire \( X\colon\hom_k(W^*,V^*)\to\hom_k(V,W) \) esattamente come l'applicazione \( \psi\mapsto\psi^* \). Questo non posso farlo, perché così facendo otterrei una funzione \( V^{**}\to W^{**} \).
Beh, \(V^{**}\cong V\) canonicamente. Che altro ti serve fare?
che altro ti serve fare?Ce l’ho fatta! Bastava solo fare i conti infatti c:
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