Isomorfismo di spazi vettoriali con prodotto tensore

[ager94]

Buonasera,
sto seguendo un corso di geometria differenziale e stiamo trattando i tensori.
Dopo aver enunciato con una proposizione la proprietà universale per i prodotti tensoriali abbiamo ricevuto il seguente corollario privo di dimostrazione perchè "immediato", ma per me non è così immediato.
\(\displaystyle Siano\; K \; un\; campo, V,W\; K-spazi\; vettoriali, allora\; \forall\; U \; spazio\; vettoriale \; \exists\; un\; isomorfismo\; L_{K}^{2}(V,W;U) \simeq Hom_{K}(V\otimes W; U)\)

Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi perché esiste e come è tale isomorfismo?
Grazie mille

[Antimius]

Con $L_{\mathbb{K}}^2(V,W;U)$ immagino tu intenda lo spazio delle applicazioni bilineari $V \times W \to U$.
Comunque per la proprietà universale sai che esiste un'applicazione bilineare $\phi: V \times W \to V \otimes W$ tale che per ogni applicazione bilineare $h: V \times W to U$ esiste un'unica applicazione lineare $h': V \otimes W to U$ tale che $h = h' circ \phi$.
Ma allora l'isomorfismo è dato da $h \mapsto h'$. La suriettività discende dal fatto che $h'$ esiste per ogni $h$ e l'iniettività discende dal fatto che tale $h'$ è unica.

[ager94]

Adesso ho capito, grazie

[Antimius]

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