Isomorfismo

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17 lug 2018, 20:07

Ciao, sul libro "Geometria 1" di E. Sernesi quando si parla di applic zioni lineari l'autore defisce 'isomorfi' due spazi vettoriali tali che esiste un isomorfismo fra i due; dopo ciò enuncia il seguente teorema: "Due spazi vettoriali di dimensione finita sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione". Ciò significa che non può esistere un isomorfismo fra due spazi vettoriali di dimensione differente.
Ma la denominazione 'automorfismo' non esiste proprio per distinguere gli isomorfismi fra spazi di dimensione uguale rispetto a quelli fra dimensione differente? [pgn][/pgn]

Risposte

lollocau

17 lug 2018, 22:31

"Magma":
[quote="lollocau"]
[…] $ dim(W)=N=dim(V) $ come volevasi dimostrare hanno la stessa cardinalità.

Perché usi dimensione e cardinalità come sinonimi? Ti consiglio di fare attenzione alle definizioni dei termini per evitare di usarli a sproposito.

"killing_buddha":
"Come volevasi dimostrare" non hai compreso la differenza tra dimensione e cardinalità.

Anche sorvolando su questo, comunque, la risposta è no: ci sono isomorfismi che non sono "funzioni biiettive che rispettano la struttura", vuoi perché non sono funzioni, vuoi perché non sono biiettive.

Un esempio: prendi uno spazio topologico $ X $ e definisci il [url0http://planetmath.org/fundamentalgroupoid]gruppoide fondamentale[/url] di $ X $ prendendo come oggetti i punti di $ X $ e come frecce $ g : x\to y $ le classi di omotopia di cammini $ \gamma : [0,1] \to X $ tali che $ \gamma(0)=x, \gamma(1)=y $. Ognuna di queste frecce è un isomorfismo, ma (quasi) nessuna di queste frecce è una funzione biiettiva. (In effetti, un teorema molto profondo di Freyd dice che queste classi di omotopia non si possono pensare come funzioni).

"anto_zoolander":
La dimensione è il numero di elementi di una qualsiasi base...
Non ha molto a che fare la cardinalità dello spazio.

$ RR $ ha cardinalità più che numerabile, ma ha dimensione $ 1 $

[/quote]

Perdonatemi avete decisamente ragione, so bene la differenza tra dimensione e cardinalità, non ho idea del perché l'abbia utilizzato come sinonimo, inoltre non volevo risultare presuntuoso in alcun modo quindi mi scuso ulteriormente.

Detto ciò, killing_buddha ne sai sicuramente più di me, sono solo uno studente di fisica del secondo anno, quindi lungi da me voler avere una polemica su cose di cui non ho una conoscenza così approfondita, però in tutti i libri di geometria e algebra lineare da me letti un'applicazione lineare che sia un isomorfismo è sempre definita come biiettiva, quindi non avendo le competenze per comprendere a fondo l'esempio che mi hai fatto, ti chiedo, almeno nel contesto delle applicazioni lineari questo asserto è vero?

killing_buddha

17 lug 2018, 22:38

Sì, certo, per le applicazioni lineari è vero; ma tu l'hai scritto in una maniera che non parlava di applicazioni lineari. Non è che siccome uno ha visto solo quelli, l'unica struttura che esiste sono gli spazi vettoriali!

lollocau

17 lug 2018, 22:43

"killing_buddha":
Sì, certo, per le applicazioni lineari è vero; ma tu l'hai scritto in una maniera che non parlava di applicazioni lineari. Non è che siccome uno ha visto solo quelli, l'unica struttura che esiste sono gli spazi vettoriali!

Si sono d'accordo, non ho visto solo quelle, anche se solo quelle nello specifico, ho risposto più che altro con un po' di superficialità, dettata però dal fatto di aver ritenuto la domanda appartenente al contesto delle sole applicazioni lineari ergo ho ristretto a quello la risposta senza specificarlo, sarò più preciso la prossima, promesso ahahah.
Comunque ti ringrazio per le delucidazioni, posso chiederti cosa fai nella vita? Se hai tempo puoi vedere la mia domanda sul teorema spettrale ?

killing_buddha

17 lug 2018, 22:48

cosa fai nella vita

Scrivo libri sotto pseudonimo, e faccio arrabbiare i moderatori di questo forum prendendomi gioco della misura puntiforme di alcune loro idee.

lollocau

17 lug 2018, 22:52

"killing_buddha":
cosa fai nella vita

Scrivo libri sotto pseudonimo, e faccio arrabbiare i moderatori di questo forum prendendomi gioco della misura puntiforme di alcune loro idee.

Ahahahahahah bene:')