Isomorfismi e Ortogonalità

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Ho una forma bilineare non degenere $b:VtimesV->mathbbK$
Ho un isomorfismo $phi: V -> V$.
Dato un sottospazio $W subset V$ Posso dire che $phi(W^bot) = (phi(W))^bot$ ( 1 ) ?
Mi servirebbe per provare, in Geometria Proiettiva, che le proiettività "preservano" la POLARITA'; Cioè data una proiettività $F:mathbbP(V)->mathbbP(V)$ indotta da $phi$ allora dato un sottospazio $S=mathbbP(W) subset mathbbP(V)$ ho che $F(mathbbP(W^bot))= mathbbP((phi(W))^bot)$
(Dove ovviamente il primo ortogonale si riferisce a una quadrica $Q$ e il secondo ortogonale è riferito a $F(Q)$)

Cioè, con la convenzione $Pol(mathbbP(W)):=mathbbP(W^bot)$, voglio provare che $F(Pol(S))=Pol(F(S))$ ( 2 )
Ricordando che $F(S)=F(mathbbP(W))=mathbbP(phi(W))$ ( 3 )
dove appunto $phi$ induce $F$ ovvero $forall v in V - {0_V}:F([v])=[phi(v)] $

Infatti con la proprietà ( 1 ) potrei dire che
$Pol(F(S))=Pol(mathbbP(phi(W)))=mathbbP((phi(W))^bot)=$ per ( 1 ) $=mathbbP(phi(W^bot))=$ per ( 3 ) $=F(mathbbP(W^bot))=F(Pol(S))$

Grazie davvero!
P.S.
Sarebbe ben accetto anche un altro modo, qualsiasi, magari più semplice, per dimostrare ( 2 )

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[elvis3]

Se \(\varphi\) è solo un isomorfismo la (1) mi pare proprio falsa: considera, nel piano euclideo, due rette perpendicolari \(r\) e \(s\) e un isomorfismo \(\varphi\,\colon\,\mathbb{R^2}\to \mathbb{R}^2\) tale che \(\varphi(r) = r\) e \(\varphi(s) = s'\), dove \(s'\) è una retta diversa da \(s\).

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Andrebbe limato il tuo controesempio, ma va benissimo a livello intuitivo.
Resta ancora più indimostrata la (2).
Mmm.. Non mi viene ancora un buon modo
Ti ringrazio