Isometrie: esercizio
ciao a tutti.
ho trovato questo esercizio:data $f in Iso(RR^2)$ e tale che $f^2=id$ di dimostrare che o f è un ribaltamento o una riflessione.
ho pensato a tre modi di procedere: 1 $f^2$ ha un almeno un punto fisso, pertanto o è una riflessione o una rotazione..e da li sono ferma
2 considero f : essendo un'isometria è composizione di al piu 3 riflessioni e mi faccio i vari casi, escludendo da subito il caso di k>2 perchè vedo che il gruppo (id,f) è ciclico di ordine 2 quindi non conterrà traslazioni e glissoriflessioni.
vorrei sapere se sto ragionando nel modo corretto o se c'è un altro modo di procedere in esercizi di questo tipo. grazie
ho trovato questo esercizio:data $f in Iso(RR^2)$ e tale che $f^2=id$ di dimostrare che o f è un ribaltamento o una riflessione.
ho pensato a tre modi di procedere: 1 $f^2$ ha un almeno un punto fisso, pertanto o è una riflessione o una rotazione..e da li sono ferma
2 considero f : essendo un'isometria è composizione di al piu 3 riflessioni e mi faccio i vari casi, escludendo da subito il caso di k>2 perchè vedo che il gruppo (id,f) è ciclico di ordine 2 quindi non conterrà traslazioni e glissoriflessioni.
vorrei sapere se sto ragionando nel modo corretto o se c'è un altro modo di procedere in esercizi di questo tipo. grazie
Risposte
Dalla 1 mi sa che ci arrivi subito. Se $f$ è una riflessione, scriviamola come $f=R_\theta$. Allora $f^2=R_{2theta}$. Ma deve essere $f^2=I$. Quindi...
ma se se dico che $f^2$ o è una riflessione o una rotazione allora automaticamente anche f sarà o una riflessione o una rotazione?
E si, hai ragione, ho sbagliato a leggere. Non lo so se quest'ultimo fatto che citi sia vero o no. Sicuramente non è una cosa ovvia.
io imboccherei piu la seconda..per poi ragionare sulla f come dicevi tu.
ciao, ho provato a farlo cosi:
$f in Iso(RR^2)$ allora è composizione di al piu 3 riflessioni.
se f fosse una glisso riflessione allora $f=\sigma _s * \sigma _r * \ sigma_m$ con r e s parallele e m perpendicolare se prendo $f^2$ su un generico punto P si ha che $f^2P= (\sigma _s * \sigma _r * \ sigma_m) * (\sigma _s * \sigma _r * \ sigma_m)P =(\sigma _m * t_v * \sigma _m* t_v )P=(id* t_2v) P =P+2v \ne P$
percio f non sarà una glissoriflessione.
se f fosse una traslazione allora $f=t_v$ quindi $f^2P=(t_v*t_v)P=(t_2v) P =P+2v \ne P$
percio f non sarà una traslazione.
allora o è una riflessione o è una rotazione. nel caso fosse una rotazione come hai suggerito tu viene che può essere solo un ribaltamento.
che te ne pare?
$f in Iso(RR^2)$ allora è composizione di al piu 3 riflessioni.
se f fosse una glisso riflessione allora $f=\sigma _s * \sigma _r * \ sigma_m$ con r e s parallele e m perpendicolare se prendo $f^2$ su un generico punto P si ha che $f^2P= (\sigma _s * \sigma _r * \ sigma_m) * (\sigma _s * \sigma _r * \ sigma_m)P =(\sigma _m * t_v * \sigma _m* t_v )P=(id* t_2v) P =P+2v \ne P$
percio f non sarà una glissoriflessione.
se f fosse una traslazione allora $f=t_v$ quindi $f^2P=(t_v*t_v)P=(t_2v) P =P+2v \ne P$
percio f non sarà una traslazione.
allora o è una riflessione o è una rotazione. nel caso fosse una rotazione come hai suggerito tu viene che può essere solo un ribaltamento.
che te ne pare?
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