Isometrie e isomorfismi lineari
Supponiamo di avere due spazi vettoriali a prodotto scalare $H$ e $H'$ (se serve possiamo supporre che siano di Hilbert). Sia $f:H\toH'$ una isometria bigettiva(*) tra i due, supponiamo che $f(0)=0$.
Domanda: questa $f$ è anche un isomorfismo di spazi vettoriali? Questo fatto è vero negli spazi euclidei. Si può estendere?
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(*) Nel senso che, dette $||*||_H, ||*||_(H')$ le norme indotte dai prodotti scalari, per ogni $x,y\inH$ risulta che $||f(x)-f(y)||_(H')=||x-y||_H$ .
Domanda: questa $f$ è anche un isomorfismo di spazi vettoriali? Questo fatto è vero negli spazi euclidei. Si può estendere?
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(*) Nel senso che, dette $||*||_H, ||*||_(H')$ le norme indotte dai prodotti scalari, per ogni $x,y\inH$ risulta che $||f(x)-f(y)||_(H')=||x-y||_H$ .
Risposte
Dunque, è facile dimostrare che $f$ conserva il prodotto scalare.
Infatti dalle ipotesi segue che $||f(x)||_(H')=||f(x)-f(0)||_(H')=||x||_H$ per ogni $x\inH$. E se una applicazione conserva la norma allora conserva anche il prodotto scalare - è un regalo delle identità "di polarizzazione", che scrivo solo nel caso di spazi reali: $2\langlev, w\rangle= ||v+w||^2-||v||^2-||w||^2$ (nel caso complesso sono più complicate ma la sostanza è la stessa).
Ora si tratta di dimostrare: una applicazione $H\toH'$, biiettiva, che conserva il prodotto scalare è necessariamente lineare. Penso di esserci riuscito: siano $h, k\inH$. Verifichiamo che $f(h+k)=f(h)+f(k)$. Sia $x\inH$ un vettore arbitrario, allora $\langlef(h+k), f(x)\rangle=\langleh+k, x\rangle= \langleh, x\rangle+\langlek, x\rangle=\langlef(h), f(x)\rangle+\langlef(k), f(x)\rangle=\langlef(h)+f(k), f(x)\rangle$. Quindi, per ogni $x\inH$, $\langlef(h+k), f(x)\rangle=\langlef(h)+f(k), f(x)\rangle$. Consegue che $langlef(h+k), *\rangle=\langlef(h)+f(k), *\rangle$, e quindi che $f(h+k)=f(h)+f(k)$ dalle proprietà del prodotto scalare. In maniera del tutto analoga si dimostra che $f(lambdav)=lambdaf(v)$.
Non è nemmeno necessario che gli spazi siano di Hilbert.
Infatti dalle ipotesi segue che $||f(x)||_(H')=||f(x)-f(0)||_(H')=||x||_H$ per ogni $x\inH$. E se una applicazione conserva la norma allora conserva anche il prodotto scalare - è un regalo delle identità "di polarizzazione", che scrivo solo nel caso di spazi reali: $2\langlev, w\rangle= ||v+w||^2-||v||^2-||w||^2$ (nel caso complesso sono più complicate ma la sostanza è la stessa).
Ora si tratta di dimostrare: una applicazione $H\toH'$, biiettiva, che conserva il prodotto scalare è necessariamente lineare. Penso di esserci riuscito: siano $h, k\inH$. Verifichiamo che $f(h+k)=f(h)+f(k)$. Sia $x\inH$ un vettore arbitrario, allora $\langlef(h+k), f(x)\rangle=\langleh+k, x\rangle= \langleh, x\rangle+\langlek, x\rangle=\langlef(h), f(x)\rangle+\langlef(k), f(x)\rangle=\langlef(h)+f(k), f(x)\rangle$. Quindi, per ogni $x\inH$, $\langlef(h+k), f(x)\rangle=\langlef(h)+f(k), f(x)\rangle$. Consegue che $langlef(h+k), *\rangle=\langlef(h)+f(k), *\rangle$, e quindi che $f(h+k)=f(h)+f(k)$ dalle proprietà del prodotto scalare. In maniera del tutto analoga si dimostra che $f(lambdav)=lambdaf(v)$.
Non è nemmeno necessario che gli spazi siano di Hilbert.
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