ISOMETRIA

[kika_17]

Ciao a tutti, sto cercando di rispondere ad alcune domande teoriche ma mi trovo in difficoltà... qualcuno può aiutarmi per favore? Grazie

"cos'è un'isometria? è iniettiva? dimostra. esempio. è suriettiva? dimostra. esempio."
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Allora...

Sia $(V,<,>)$ uno spazio euclideo, $f in End(V)$ è un'isometria se $ AA v,w in V$ si ha $ = $

Un'isometria è sempre iniettiva, ma non è sempre suriettiva.

Giusto?

come faccio a dimostrarlo e a fare un esempio?

[ostrogoto1]

Dimostro iniettivita':

$ f(v)=0 rArr \=0 $
$ 0=\= $

quindi $ v=0 $ poiche' per le proprieta' del prodotto scalare $ \=0 $ sse $ v=0 $. Quindi il Ker di f e' ridotto al solo elemento nullo, cioe' f iniettiva.

[ostrogoto1]

Nota: se nella definizione di isometria consideri gli endomorfismi cioe' gli omomorfismi di uno spazio in se' allora necessariamente se uno di essi e' iniettivo e' pure suriettivo...
Un esempio di isometria sono le rotazioni dei vettori del piano di un certo angolo.