Iperpiano e quadrica proiettivi
Sia $Q$ una quadrica non degenere in $\mathbb{P}^3(RR)$. Dimostrare che esiste $h$ piano proiettivo tale che $hnnnZ(Q)=\emptyset$ se e solo se la segnatura proiettiva di $Q$ è $(3,1)$.
Assumiamo che $Q$ abbia segnatura proiettiva $(3,1)$.
Allora, per la classificazione affine delle quadriche in $\mathbb{A}^3(RR)$, abbiamo tre casi:
a) la quadrica $Q$ è la chiusura proiettiva di un ellissoide: la sua forma normale è $x^2+y^2+z^2-t^2=0$. Basta considerare il piano $h:t=0$.
b) la quadrica $Q$ è la chiusura proiettiva di un iperboloide ellittico: la sua forma normale è $x^2+y^2-z^2+t^2=0$. Basta considerare il piano $h:z=0$.
c) la quadrica $Q$ è la chiusura proiettiva di un paraboloide ellittico: la sua forma normale è $x^2+y^2+zt=0$. Basta considerare il piano $h:t=0$.
Resta da dimostare che se esiste $h$ piano proiettivo tale che $hnnnZ(Q)=\emptyset$, allora la segnatura proiettiva di $Q$ è $(3,1)$.
Qui non so da dove partire. Qualche suggerimento?
Assumiamo che $Q$ abbia segnatura proiettiva $(3,1)$.
Allora, per la classificazione affine delle quadriche in $\mathbb{A}^3(RR)$, abbiamo tre casi:
a) la quadrica $Q$ è la chiusura proiettiva di un ellissoide: la sua forma normale è $x^2+y^2+z^2-t^2=0$. Basta considerare il piano $h:t=0$.
b) la quadrica $Q$ è la chiusura proiettiva di un iperboloide ellittico: la sua forma normale è $x^2+y^2-z^2+t^2=0$. Basta considerare il piano $h:z=0$.
c) la quadrica $Q$ è la chiusura proiettiva di un paraboloide ellittico: la sua forma normale è $x^2+y^2+zt=0$. Basta considerare il piano $h:t=0$.
Resta da dimostare che se esiste $h$ piano proiettivo tale che $hnnnZ(Q)=\emptyset$, allora la segnatura proiettiva di $Q$ è $(3,1)$.
Qui non so da dove partire. Qualche suggerimento?
Risposte
Cosa intendi per $Z(Q)$? Il supporto della quadrica?
Non mi sembra che la proposizione valga in generale... Prendiamo una quadrica $Q_1$ la cui forma quadratica abbia una forma bilineare simmetrica associata di segnatura $(4,0)$... Abbiamo che $Q_1$ non ha punti reali, dunque vale l'asserto anche se la segnatura non è quella detta...
Non mi sembra che la proposizione valga in generale... Prendiamo una quadrica $Q_1$ la cui forma quadratica abbia una forma bilineare simmetrica associata di segnatura $(4,0)$... Abbiamo che $Q_1$ non ha punti reali, dunque vale l'asserto anche se la segnatura non è quella detta...
Con $Z(Q)$ intendo proprio il supporto della quadrica.
Per quanto riguarda la tua osservazione, hai ragione: probabilmente il nostro docente ha involontariamente "trascurato" la conica di segnatura $(4,0)$, poichè il suo supporto è vuoto.
Per quanto riguarda la tua osservazione, hai ragione: probabilmente il nostro docente ha involontariamente "trascurato" la conica di segnatura $(4,0)$, poichè il suo supporto è vuoto.
Allora la proposizione è:
Sia $Q$ una quadrica a punti reali. $Z(Q)nnh=emptyset$ se e solo se la segnatura di una forma bilineare associata è $(3,1)$...
Può andare?
Sia $Q$ una quadrica a punti reali. $Z(Q)nnh=emptyset$ se e solo se la segnatura di una forma bilineare associata è $(3,1)$...
Può andare?
Direi di sì, poichè sappiamo che a ogni iperquadrica corrisponde un polinomio omogeneo di secondo grado.
Potresti osservare che le quadriche in $P^3(RR)$ con segnatura $(2,2)$ sono dette rigate, perchè il loro supporto è unione di due schiere di rette (infatti, se la segnatura è $(a,b)$, il numero $min{a,b}$ indica la dimensione (vettoriale) della massima sottovarietà lineare contenuta nel supporto...) e che quindi, preso un piano, avremo che (non vi sono altre possibilità nel proiettivo...) esso è intersecato da ogni retta delle due schiere in (almeno) un punto.
Ancora un dubbietto 
Tu dici che, preso un piano, avremo che (non vi sono altre possibilità nel proiettivo) esso è intersecato da ogni retta delle due schiere in (almeno) un punto. Arrivi a questa conclusione usando la formula di Grassman?
EDIT: se ho capito bene, quando il piano è intersecato in più di un punto, allora tutta la retta è contenuta nel piano, giusto?
Tu dici che, preso un piano, avremo che (non vi sono altre possibilità nel proiettivo) esso è intersecato da ogni retta delle due schiere in (almeno) un punto. Arrivi a questa conclusione usando la formula di Grassman?
EDIT: se ho capito bene, quando il piano è intersecato in più di un punto, allora tutta la retta è contenuta nel piano, giusto?
"matths87":
Arrivi a questa conclusione usando la formula di Grassman?
Si. Un piano ha come sostegno un sottospazio vettoriale di dimensione $3$... Una retta ha come sostegno un sottospazio vettoriale di dimensione $2$. Essi sono contenuti in uno spazio di dimensione $4$... Quindi l'intersezione è (se il secondo sottospazio non è contenuto nel primo...) un sottospazio di dimensione $1$, che rappresenta un punto nel proiettivo.
"matths87":
EDIT: se ho capito bene, quando il piano è intersecato in più di un punto, allora tutta la retta è contenuta nel piano, giusto?
Certo.
Adesso mi quadra tutto.
Grazie per l'aiuto
Grazie per l'aiuto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo