Iperboloide a una falda

[jollothesmog]

come trovo il cerchio di gola di questa iperboloide a una falda??

$x^2+y^2=(z+p)^2+4z^2$ con $p!=0$

grazie

[cirasa]

Ricordi la definizione di cerchio di gola? Qual è?
In realtà non l'ho mai sentita, anche se mi sembra abbastanza intuibile...

Cosa hai pensato?

[jollothesmog]

è il cerchio di raggio minimo, no?

[cirasa]

Certo...solitamente come sei abituato a cercarlo?

[jollothesmog]

non l'ho nai fatto alezione. però il prof lasciò un esercizio per esercitarsi in cui lo chiede e negli esercizi d'esame degli anni scorsi ci sono problemi in cui lo chiede

[cirasa]

Ma il cerchio di gola di un'iperboloide a una falda deve necessariamente una circonferenza o può essere anche un'ellisse?

Come sai, l'iperboloide ad una falda ha tre assi, ottenuti intersecando i piani principali.
Nell'iperboloide ad una falda, uno dei tre assi non interseca l'iperboloide.
Se $alpha$ è il piano ortogonale a tale asse passante per il centro, allora, secondo me (spero di non commettere strafalcioni), quello che cerchi è l'intersezione dell'iperboloide con $alpha$.

[jollothesmog]

al primo ricevimento ci vado e vedo che mi dice. ti faccio sapere

[byob12]

"cirasa":Ma il cerchio di gola di un'iperboloide a una falda deve necessariamente una circonferenza o può essere anche un'ellisse?

un iperboloide ha sempre i 3 autovalori di segni diversi, in particolare l'autovettore associato all'unico autovalore di segno diverso indica la direzione dell'asse dell'iperboloide. gli altri 2 (che hanno lo stesso segno), nel caso siano uguali indicano che è un iperboloide di rotazione (e quindi c'è una circonferenza di gola e non un 'semplice' ellisse).

quindi in generale la gola è un ellisse, ma nel caso in esame è una circonferenza $AAp in RR$.
se dai un'occhio alla parte quadratica dell'equazione vedi che mancano i termini rettangolari $xy$, $xz$ e $yz$, quindi l'iperboloide ha gli assi gia paralleli agli assi cartesiani.
gli autovalori della matrice associata pertanto sono i coefficienti dei termini $x^2$, $y^2$ e $z^2$.
nel caso in esame gli autovalori sono quindi:

$\lambda_1=-5$
$\lambda_2=\lambda_3=1$[/list:u:1klfskqe]

[Quinzio]

Ma se minimizzi il secondo membro, che sarebbe il raggio, non hai risolto ?