Iperbole equilatera
Si dice se ha i punti impropri reali e in direzioni ortogonali, ho difficoltà a capire il concetto di punto improprio, è un punto nella concezione classica oppure no, ritornando alla iperbole che rapporto c'è tra gli asintoti e i punti impropri?
Risposte
Il punto improprio non e' un punto "ordinario", bensi' un aggiunta che rende una coppia di rette sempre incidenti, in un punto improprio se esse sono parallele. I punti impropri sono definiti come direzioni delle rette stesse, in modo che rette parallele abbiano la stessa direzione, e quindi si incontrino in un punto improprio.
Poi, ad esempio, gli asintoti di un'iperbole non sono altro che le rette del piano che sono tangenti all'iperbole nei suoi due punti impropri (che sono reali proprio perche' e' un'iperbole).
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Poi, ad esempio, gli asintoti di un'iperbole non sono altro che le rette del piano che sono tangenti all'iperbole nei suoi due punti impropri (che sono reali proprio perche' e' un'iperbole).
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Dai anche un'occhiata qui, se vuoi: http://www.llussardi.it/pproiett.html
Luca Lussardi
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vediamo se ho capito:le coordinate non omogenee si riferiscono al piano affine, le coordinate omogenee al piano proiettivo, cioè al piano affine con l'aggiunta dei punti impropri e immaginari. Allora quando trasformiamo le coordinate effettuiamo una proiezione?
Che differenza c'è tra spazio affine ed euclideo?
Che differenza c'è tra spazio affine ed euclideo?
Il piano proiettivo si ottiene aggiungendo i punti impropri al piano affine. I punti immaginari possono anche essere propri, se il piano proiettivo e' complesso, e non reale.
Una trasformazione di coordinate non e' necessariamente una proiezione, ma nel piano proiettivo le proiezioni sono corrispondenze biunivoche, quindi legittimi cambiamenti di coordinate.
Infine, nello spazio affine la sola definizione portante e' il parallelismo; se immetti una metrica, ovvero una distanza tra punti, allora le cose cambiano. Ad esempio, se costruisci lo spazio affine su uno spazio vettoriale, e poi metti un prodotto scalare sullo spazio vettoriale stesso, questo ti induce una distanza tra punti dello spazio affine corrispondente, che quindi viene a diventare spazio euclideo.
Luca Lussardi
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Una trasformazione di coordinate non e' necessariamente una proiezione, ma nel piano proiettivo le proiezioni sono corrispondenze biunivoche, quindi legittimi cambiamenti di coordinate.
Infine, nello spazio affine la sola definizione portante e' il parallelismo; se immetti una metrica, ovvero una distanza tra punti, allora le cose cambiano. Ad esempio, se costruisci lo spazio affine su uno spazio vettoriale, e poi metti un prodotto scalare sullo spazio vettoriale stesso, questo ti induce una distanza tra punti dello spazio affine corrispondente, che quindi viene a diventare spazio euclideo.
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scusa mi sono espresso male per trasformazione erroneamente intendevo il passaggio da coordinate omogenee a coordinate non omogenee
Quella non e' una trasformazione del piano proiettivo in se', quindi non c'e' nemmeno da chiedersi se si tratta di un cambiamento di coordinate.
Luca Lussardi
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Luca Lussardi
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ok sto cominciando a capire, ma ho altri dubbi: ritornando alla definizione di iperbole equilatera, che vuol dire punti impropri reali in direzioni ortogonali? Io immagino che nel piano proiettivo l'iperbole equilatera equivale a 2 ellisse che si chiude all'infinito nei due punti impropri, ma cosi hanno la stessa direzione i 2 punti impropri?
L'iperbole e' proiettivamente equivalente ad una ellisse (perche' due?). E' praticamente una ellisse con due punti impropri distinti. Se ce ne fosse uno solo, allora si avrebbe la parabola. I punti impropri sono le direzioni degli asintoti; un 'iperbole poi e' equilatera se i suoi asintoti sono ortogonali.
Luca Lussardi
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Non riesco proprio a immaginare graficamente come si traduca tutto questo, potresti inviarmi dei disegni?
si
La cosa fondamentale e' pensare i punti impropri come direzioni di rette.
Luca Lussardi
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scusa, luca, se mi intrometto buttandola, come al solito, in soldoni.
nikki,
il punto improprio è il punto all'infinito in cui va a sbattere una retta.
1) - comincia a immaginare l'infinito come un enorme cerchio ai bordi del tuo piano cartesiano,
una retta di una certa direzione lo "buca" in un punto, che è lo stesso (e qui mi contraddico) ad un estremo e all'altro della retta.
a questo punto, una verticale dall'origine verso l'alto buca l'infinito nel punto improprio a "nord" del foglio, (che coincide con quello a "sud"); di lì, spuntando da sud, la retta prosegue sul foglio verso l'alto, chiudendosi sull'origine.
quella retta è quindi una circonferenza (un po' allungata [:)])
due rette parallele bucano il cerchio dell'infinito in un solo punto.
2) - per risolvere la contraddizione di cui sopra, immagina ora di piegare il piano rendendolo simile ad un palloncino e stringendo il cerchio dell'infinito come uno sfintere fino a chiuderlo:
l'infinito non lo vediamo più come retta, ma come punto ...
il piano cartesiano è una palla, e l'infinito è il punto agli antipodi dell'origine; i punti impropri sono le direzioni dei cerchi massimi passanti per l'origine e l'infinito
ti ho confuso ancor più?
tony
*** AGGIUNTA A POSTERIORI ***
e se l'infinito da un cerchio diventa un punto, si vede come, in questo modello alla buona, il +infinito e il -infinito coincidono.
nikki,
il punto improprio è il punto all'infinito in cui va a sbattere una retta.
1) - comincia a immaginare l'infinito come un enorme cerchio ai bordi del tuo piano cartesiano,
una retta di una certa direzione lo "buca" in un punto, che è lo stesso (e qui mi contraddico) ad un estremo e all'altro della retta.
a questo punto, una verticale dall'origine verso l'alto buca l'infinito nel punto improprio a "nord" del foglio, (che coincide con quello a "sud"); di lì, spuntando da sud, la retta prosegue sul foglio verso l'alto, chiudendosi sull'origine.
quella retta è quindi una circonferenza (un po' allungata [:)])
due rette parallele bucano il cerchio dell'infinito in un solo punto.
2) - per risolvere la contraddizione di cui sopra, immagina ora di piegare il piano rendendolo simile ad un palloncino e stringendo il cerchio dell'infinito come uno sfintere fino a chiuderlo:
l'infinito non lo vediamo più come retta, ma come punto ...
il piano cartesiano è una palla, e l'infinito è il punto agli antipodi dell'origine; i punti impropri sono le direzioni dei cerchi massimi passanti per l'origine e l'infinito
ti ho confuso ancor più?
tony
*** AGGIUNTA A POSTERIORI ***
e se l'infinito da un cerchio diventa un punto, si vede come, in questo modello alla buona, il +infinito e il -infinito coincidono.
grazie ora ho capito
Bravissimo Tony; effettivamente io non sono molto portato per la didattica.
Luca Lussardi
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ma daaai, Luca, un complimento ?!
da te mi aspettavo invece (anche se non l'ho scritto) una buona scartavetrata alle approssimative descrizioni che ho buttato lì di getto, in modo da sgrossarle un po':
ho l'impressione che da un punto di vista teorico facciano acqua da diverse parti, anche se da un punto di vista pratico aiutano a "toccare" il problema.
se tu ci provassi, potrebbe esser utile a molti.
tony
da te mi aspettavo invece (anche se non l'ho scritto) una buona scartavetrata alle approssimative descrizioni che ho buttato lì di getto, in modo da sgrossarle un po':
ho l'impressione che da un punto di vista teorico facciano acqua da diverse parti, anche se da un punto di vista pratico aiutano a "toccare" il problema.
se tu ci provassi, potrebbe esser utile a molti.
tony
Si', e' vero che fa acqua dappertutto, ma il nostro amico aveva chiesto una spiegazione intuitiva, e credevo gli bastasse quella che gli avevo linkato. Invece non e' stato cosi'. Quindi mi complimento per avergli fatto capire (spero) un po' di piu' quello che ci sta sotto a queste definizioni fondamentali sull'ambiente proiettivo.
Luca Lussardi
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Ma visto che ci siamo perchè non dare una "scartavetrata"?
Il modo migliore secondo me per vedere queste cose ed essere anche rigorosi nel parlare e' pensare alle proiezioni, ed al fatto che devono essere corrispondenze biunivoche tra piani proiettivi. In fin dei conti cosi' e nata la Geometria proiettiva.
Immaginiamo di avere un piano verticale ed uno orizzontale; sia dato un punto esterno ai due piani, il centro di proiezione; allora, mandando una generica retta da quel punto, essa incontrera' il piano verticale in un punto (supponiamo lo incontri) e associera' a questo punto la sua intersezione con il piano orizzontale. Si viene a creare una retta orizzontale sul piano verticale, detta linea dell'orizzonte, la quale non ha immagini sul piano orizzontale, anzi ha come immagine la retta impropria del piano affine orizzontale ampliato a piano proiettivo. Tale retta del piano verticale non e' altro che l'intersezione delle rette condotte dal centro di proiezione e orizzontali, quindi parallele al piano orizzonatale. Quindi se ampliamo il piano affine aggiungendo questi punti impropri che vogliono essere proprio le direzioni delle rette, allora le proiezioni diventano corrispondenze biunivoche, e la linea dell'orizzonte e' un modo per visualizzare per bene i punti impropri del piano orizzontale (ma visti su quello verticale: questa e' stata la nascita della prospettiva, e quindi della Geometria proiettiva).
Tutto cio' ha conseguenze fondamentali per lo studio delle coniche. Infatti, supponiamo di disegnare una ellisse sul nostro piano verticale di prima. Allora proiettandola sul piano orizzontale supponendolo gia' piano proiettivo possiamo ottenere 3 cose: ancora una ellisse se nessuna retta di proiezione e' orizzontale. Otteniamo invece una parabola se esiste una retta di proiezione orizzontale, che quindi manda un punto dell'ellisse verticale in un punto improprio, l'unico punto improprio di una parabola. Infine se ci sono due rette che prioettano l'ellisse orizzontali, allora la conica risultante sul piano orizzontale sara' una conica con due punti impropri distinti, che e' un'iperbole. Quindi le coniche nel piano proiettivo sono tutte uguali, e sono tutte ellissi. Provare per credere: basta che disegnate una ellisse su un foglio lucido e proiettate con una lampada su un piano orizzontale. Fai questo esperimento. Vedrai una ellisse che man mano si allunga fino al punto limite in cui diviene una parabola. Dopo quel punto ti troverai a vedere due rami di un'iperbole.
Luca Lussardi
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Immaginiamo di avere un piano verticale ed uno orizzontale; sia dato un punto esterno ai due piani, il centro di proiezione; allora, mandando una generica retta da quel punto, essa incontrera' il piano verticale in un punto (supponiamo lo incontri) e associera' a questo punto la sua intersezione con il piano orizzontale. Si viene a creare una retta orizzontale sul piano verticale, detta linea dell'orizzonte, la quale non ha immagini sul piano orizzontale, anzi ha come immagine la retta impropria del piano affine orizzontale ampliato a piano proiettivo. Tale retta del piano verticale non e' altro che l'intersezione delle rette condotte dal centro di proiezione e orizzontali, quindi parallele al piano orizzonatale. Quindi se ampliamo il piano affine aggiungendo questi punti impropri che vogliono essere proprio le direzioni delle rette, allora le proiezioni diventano corrispondenze biunivoche, e la linea dell'orizzonte e' un modo per visualizzare per bene i punti impropri del piano orizzontale (ma visti su quello verticale: questa e' stata la nascita della prospettiva, e quindi della Geometria proiettiva).
Tutto cio' ha conseguenze fondamentali per lo studio delle coniche. Infatti, supponiamo di disegnare una ellisse sul nostro piano verticale di prima. Allora proiettandola sul piano orizzontale supponendolo gia' piano proiettivo possiamo ottenere 3 cose: ancora una ellisse se nessuna retta di proiezione e' orizzontale. Otteniamo invece una parabola se esiste una retta di proiezione orizzontale, che quindi manda un punto dell'ellisse verticale in un punto improprio, l'unico punto improprio di una parabola. Infine se ci sono due rette che prioettano l'ellisse orizzontali, allora la conica risultante sul piano orizzontale sara' una conica con due punti impropri distinti, che e' un'iperbole. Quindi le coniche nel piano proiettivo sono tutte uguali, e sono tutte ellissi. Provare per credere: basta che disegnate una ellisse su un foglio lucido e proiettate con una lampada su un piano orizzontale. Fai questo esperimento. Vedrai una ellisse che man mano si allunga fino al punto limite in cui diviene una parabola. Dopo quel punto ti troverai a vedere due rami di un'iperbole.
Luca Lussardi
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grazie, l'esempio della lampada mi è stato veramente di aiuto
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