Inverso moltiplicativo

[gugione]

Ciao,

ho risolto l'eq diofantea $22x+89y=11$ che é risolvibile (MCD = 1) e che ha soluzioni:
$x = -44 + 89h$
$y = 11- 22h$

Il punto seguente mi blocca:

"Sia $Z_89$ il campo delle classi di resto modulo 89. Determinare l'inverso moltiplicativo di [22] in $Z_89$.

Cosa é esattamente l'inverso moltiplicativo? Come si ricava?
Grazie

[Trilogy]

Su $\mathbb Z_{89}$ hai visto la definizione delle operazioni di somma e prodotto? Molto semplicemente, $$[a]+:=[a+b],\qquad [a]\cdot:=[a\cdot b].$$ Con queste operazioni, $\mathbb Z_{89}$ è un campo! L'elemento neutro rispetto alla prima operazione è $[0]$, e l'elemento neutro rispetto alla seconda è $[1]$.
Dato ora $[a]\in\mathbb Z_{89}\setminus\{[0]\}$, il suo inverso moltiplicativo è un elemento $$ tale che $$[a]\cdot=[1].$$ Non ti resta che esplicitare l'ultima uguaglianza, per avere una relazione tra numeri interi, e non con classi di equivalenza!

[gugione]

Grazie per la spiegazione.

"Trilogy":il suo inverso moltiplicativo è un elemento $$ tale che $$[a]\cdot=[1].$$ Non ti resta che esplicitare l'ultima uguaglianza, per avere una relazione tra numeri interi, e non con classi di equivalenza!

Ma quindi il prodotto fra 22 e un qualcosa deve essere 1? Considerando le classi di resto...
$b=-4$ potrebbe andare bene? Moltiplicato per 22 dovrebbe darmi $[-88]$ che in Z89 dovrebbe dare la classe di resto 1.
Giusto?

[Trilogy]

Perfetto. Ma l'hai trovato per pura intuizione o applicando un ragionamento che puoi generalizzare ad un caso qualsiasi?

La seconda è meglio, di solito...

[gugione]

Purtroppo per intuizione! XD nel senso che abbiamo fatto alcuni esempi con classi di resto e da qui ho dedotto.
C'è anche un ragionamento che posso generalizzare a un caso qualsiasi? Non vorrei che la mia prof pretenda qualcosa di simile all'orale...XD

[Trilogy]

In realtà non mi ricordo metodi particolari, è un po' di tempo che non faccio queste cose... Semplicemente io scriverei (oppure, ad un orale, direi) questo: trovare l'inverso moltiplicativo di $[22]$ significa risolvere l'equazione $[22]\cdot[x]=[1]$, dove $x$ è un numero intero ($x$ non è l'inverso di $[22]$). A sua volta, questa equazione in $\mathbb Z_{89}$ si traduce in $$(22+89h)(x+89k)=1+89t,$$ un'equazione in $\mathbb Z$! Non so cosa tu abbia studiato per risolvere questo genere di equazioni, né mi ricordo precisamente come facevo io. Così su due piedi, direi che "apriamo" le parentesi e ci resta $$22x+89(\text{un po' di roba})=1+89t.$$ Voglio dire, ci interessa scrivere in maniera precisa tutto il polpettone moltiplicato per 89? Credo di no... E allo stesso modo, raccogliendo "un po' di roba" con $t$, verrà ancora qualcos'altro, che indichiamo con $w$, e cioè avremo $$22x+89w=1.$$ Ora, credo che questa equazione soddisfi tutte le buone proprietà del mondo in quanto a MCD, e quindi prova a vedere se te ne fai qualcosa! Scusa per l'approssimatività.

[gugione]

"Trilogy":Semplicemente io scriverei (oppure, ad un orale, direi) questo: trovare l'inverso moltiplicativo di $[22]$ significa risolvere l'equazione $[22]\cdot[x]=[1]$, dove $x$ è un numero intero ($x$ non è l'inverso di $[22]$).

Penso che questo sia piu che sufficiente.
Grazie mille per la spiegazione, sei stato veramente gentile