Inversa di una matrice trasposta
Salve, ho un Problema da porvi :
Verificare che per ogni matrice A quadrata di ordine n risulta (A[*t])[*-1]= (A[*-1])[*t]
l'ho dimostrata con degli esempi ma non riesco a capire come fare per il caso generale! Grazie mille in anticipo
P.S. l'asterisco (*) sarebbe un elevato
Verificare che per ogni matrice A quadrata di ordine n risulta (A[*t])[*-1]= (A[*-1])[*t]
l'ho dimostrata con degli esempi ma non riesco a capire come fare per il caso generale! Grazie mille in anticipo
P.S. l'asterisco (*) sarebbe un elevato
Risposte
Usando la formula per il calcolo della matrice inversa, abbiamo che:
\[ (A^{-1})^t = \left (\frac{ (-1)^{i + j} det A_{ij}}{det A} \right ) \]
\[ (A^t)^{-1} = \left ( \frac{ (-1)^{i + j} det {A^t}_{ji}}{det A^t} \right )^t \]
Tuttavia, noi sappiamo che il determinante di una matrice trasposta $ A^t$ è uguale a quello della matrice di partenza $A$, ed inoltre osserviamo che [tex]\left ((-1)^{i + j} det {A^t}_{ji} \right )^t = \left ( (-1)^{i + j} det {A}_{ij} \right )[/tex], quindi
\[(A^t)^{-1} = \left (\frac{ (-1)^{i + j} det A_{ij}}{det A} \right ) = (A^{-1})^t \]
\[ (A^{-1})^t = \left (\frac{ (-1)^{i + j} det A_{ij}}{det A} \right ) \]
\[ (A^t)^{-1} = \left ( \frac{ (-1)^{i + j} det {A^t}_{ji}}{det A^t} \right )^t \]
Tuttavia, noi sappiamo che il determinante di una matrice trasposta $ A^t$ è uguale a quello della matrice di partenza $A$, ed inoltre osserviamo che [tex]\left ((-1)^{i + j} det {A^t}_{ji} \right )^t = \left ( (-1)^{i + j} det {A}_{ij} \right )[/tex], quindi
\[(A^t)^{-1} = \left (\frac{ (-1)^{i + j} det A_{ij}}{det A} \right ) = (A^{-1})^t \]
Grazie mille per la risposta però ho un dubbio su una cosa.. nelle seconda matrice dove ti calcoli l'inversa di una trasposta, perchè la metti tutto elevato alla t se quello che hai nella parentesi è già l'inverso di una trasposta? ( hai già cambiato i con j e i determinanti sono elevati alla t)
però ho un dubbio su una cosa.. nelle seconda matrice dove ti calcoli l'inversa di una trasposta, perchè la metti tutto elevato alla t se quello che hai nella parentesi è già l'inverso di una trasposta? ( hai già cambiato i con j e i determinanti sono elevati alla t)
"rafflele":
Grazie mille per la risposta
Per la formula per il calcolo della matrice inversa, che ti consiglio di rivedere
@Berationalgetreal: secondo me è molto più semplice. si tratta di usare il fatto che $(AB)^T=B^TA^T$ e che $I^T=I$.
"dissonance":
@Berationalgetreal: secondo me è molto più semplice. si tratta di usare il fatto che $(AB)^T=B^TA^T$ e che $I^T=I$.
Si, effettivamente si può sfruttare anche questo.
\[ (A^{-1})^t = (A^t)^{-1} \iff A^t \cdot (A^{-1})^t = A^t \cdot (A^t)^{-1} \iff I^t = I \]
Hai ragione, è più semplice
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