Inversa di una funzione complessa..

[eli_sa1]

ciao a tutti, ho una difficoltà con un esercizio di variabile complessa, spero sia la sezione giusta in cui postarlo...
l'esercizio dice
siano $H={z in CC, Im(z)>0 }$ e $D={z in CC, |z|<1}$ , si consideri la funzione $f: H->D$ definita $f(z)=(z-i)/(z+i)$. calcolare l'inversa e stabilire se è olomorfa.

allora vi dico come sto pensando io: l'unico punto in cui non è invertibile è il punto $-i$ che però non appartiene all'insieme di definizione pertanto la funzione è invertibile, per trovare l'inversa ho cercato una $g$ tale che $g(f(z))=f(g(z))$ perciò dall'uguaglianza di destra mi viene, $g(z)=i*(1+z)/(1-z)$ che verifica anche l'uguaglianza di destra. quindi per quanto riguarda l'inversa ho finito? tutto cosi facile?
invece per dire se è olomorfa..io direi che lo è a intuito ma siccome mi sbaglio spesso con l'intuito pensavo di procedere cercando le due funzioni $u(x,y)$ e $v(x,y)$ e poi usare le condizioni di cauchy riemann. sbaglio? fatemi sapere grazie mille!
provo a dire una cavolata...ma non dovrebbe essere olomorfa per il teorema della funzione inversa?