Inversa di una 2 x 2

[mica81]

salve a tutti!
conoscete un modo veloce e sicuro per calcolare l'inversa di una due per due? io faccio così:

mettiamo che io abbia a = 3 2
0-1

per prima cosa ne calcolo il determinante det = -3
poi scrivo la matrice dei complementi algebrici. cioè:
a11 = -1 a12 = 0 a21 = 2 a22 = 3 quindi adesso ho
-1 0 -1 2
2 3 poi ne faccio la trasposta e ottengo 0 3

adesso divido tutti i valori per il determinante prima trovato. ottengo: 1/3 -2/3
0 -1

che è sbagliata, almeno nei segni. tramite matlab ho ottenuto:
1/3 2/3
0 -1
ho provato anche con altre matrici ma sbaglio sempre i segni. a questo punto cosa sbaglio? potete suggerirmi un altro metodo?
una osservazione: questo metodo funziona ottimamanente per le 3 x 3...

[mica81]

citazione:

---

salve a tutti!
conoscete un modo veloce e sicuro per calcolare l'inversa di una due per due? io faccio così:

mettiamo che io abbia
a = 3 2
0-1

per prima cosa ne calcolo il determinante det = -3
poi scrivo la matrice dei complementi algebrici. cioè:
a11 = -1 a12 = 0 a21 = 2 a22 = 3 quindi adesso ho
-1 0 -1 2
2 3 poi ne faccio la trasposta e ottengo 0 3

adesso divido tutti i valori per il determinante prima trovato. ottengo: 1/3 -2/3
0 -1

che è sbagliata, almeno nei segni. tramite matlab ho ottenuto:
1/3 2/3
0 -1
ho provato anche con altre matrici ma sbaglio sempre i segni. a questo punto cosa sbaglio? potete suggerirmi un altro metodo?
una osservazione: questo metodo funziona ottimamanente per le 3 x 3...

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[mica81]

ops scusate ho fatto un po di casino ^_^

[fireball1]

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[mica81]

aaah trovato da solo l'inghippo...il metodo funziona. basta ricordare di cambiare di segno la diagonale secondaria della matrice risultato.

[Principe2]

l'utilizzo della matrice aggiunta è ottimo per matrici al massimo 3x3, infatti, non è che non funzioni per matrici quadrate di ordine superiore, ma col fatto che devi calcolare tutti i complementi algebrici diventa una cosa piuttosto pesante dal punto di vista dei calcoli; un metodo sicuro per matrici di ordine superiore è quello della risoluzione matriciale degli n sistemi; suppongo che tu lo conosca, altrimenti cercatelo da qualche parte.. non è cattiveria, ma c'è un insormontabile ostacolo dal punto di vista grafico, per cui non te lo posso spiegare.

ciao, ubermensch

[Ramo82]

prendi la tua bella matrice A nxn e c scrivi affianco la matrice identica dello stesso ordine. Ora non ti resta che fare l'eliminazione di gauss sulla matrice A e sulla matrice identica finchè al posto della matrice A hai la matrice identica. La matrice che avrai al posto dell'identica è l'inversa di A.

Es:
2 1
A=
4 1


2 1 1 0 2 1 1 0 2 0 -1 1
---> --->
4 1 0 1 0 -1 -2 1 0 -1 -2 1


1 0 -1/2 1/2

0 1 2 -1

per quanto detto si avrà

-1/2 1/2
A' =
2 -1


spero di esserti stata utile...

[Ramo82]

nooooooo.....è uscito malissimo :'(((

[fireball1]

    2  1

A = 

    4  1





2   1    1   0          2   1    1    0       2   0   -1    1

                  --->                   --->  

4   1    0   1          0   -1   -2   1       0   -1  -2    1





1   0    -1/2   1/2



0   1     2      -1



per quanto detto si avrà



     -1/2    1/2

A' = 

       2     -1





spero di esserti stata utile...



 

[Ramo82]

riprovo a scriverti i passaggi:

2 1 1 0
4 1 0 1


2 1 1 0
0 -1 -2 1


2 0 -1 1
0 -1 -2 1


1 0 -1/2 1/2
0 1 2 -1

l'inversa della matrice A:

2 1
4 1


sarà la matrice A':

-1/2 1/2
2 -1

spero che questa volta si capisca qlcs altrimenti nn so come aiutarti

[Ramo82]

grazie fireball )...purtroppo stavo riscrivendo tutto e nn mi sono accorta che nel frattempo l'avevi "aggiustato" tu..O__o

[Principe2]

bene.. è proprio il procedimento a cui mi riferivo, che nel caso di matrici di ordine superiore al terzo risulta più comodo

[mica81]

oh grazie delle risp!
potreste rispiegarmi il metodo che usate voi? questo perchè il metodo che so io non funziona per questa matrice
1 -1
2 1
l'inversa di questa matrice calcolata con il matlab fornisce
1/3 1/3
-2/3 1/3
effettivamente se si fa la moltiplicazione
1 -1 1/3 1/3 1 0
2 1 * -2/3 1/3 si ottiene 0 1

non posso andare ad uno scritto senza sapere sta piccolezza.
grazie

[mica81]

che casino...
dicevo, se si moltiplica la vera inversa
1/3 1/3
-2/3 1/3
per la matrice data
1 -1
2 1
si ottiene la matrice unitaria
1 0
0 1
che verifica che matlab ha fatto bene e io no!

[Ramo82]

conosci il metodo di eliminazione di gauss?? se nn lo conosci è un casino spiegarti..

[mica81]

si lo conosco. ho provato da solo a interpretare i calcoli svolti ma non riesco ad arrivare al procedimento svolto.

[rocco.g1]

scusate ragazzi, se non vado errato, bisogna diagonalizzare la matrice vero ? se è così domani vi posto una img molto chiara con tutti i passaggi... ora vado di fretta...


p.s. effettivamente è scomodo rappresentare il metodo di gauss usando solo le lettere