Inversa di un isomorfisomo
Ciao,
dovrei dimostrare che l'inversa di una funzione isomorfa sia ancora isomorfa.
IL fatto che la funzione inversa sia iniettiva e suriettiva è abbastanza naturale. Ma come si fa vedere che questa è anke lineare??
dovrei dimostrare che l'inversa di una funzione isomorfa sia ancora isomorfa.
IL fatto che la funzione inversa sia iniettiva e suriettiva è abbastanza naturale. Ma come si fa vedere che questa è anke lineare??
Risposte
Cosa vuol dire che una funzione è lineare?
una funzione è lineare se conserva la somma e il prodotto cioe :
Sia $V$ il sotto spazio di partenza della funzione e sia $W$ l'insieme di arrivo allora una funzione è lineare se (o applicazione lineare) :
1. $\vec v_1$,$\vec v_2$ $in$ $V$ e siano $f(\vec v_1) e f(\vec v_2)$ le relative immagini $f(\vec v_1+\vec v_2) = f(\vec v_1) + (\vec v_1)$ ---> conserva la somma
2. $a in K , \vec v in V f(a*\vec v) = a*f(\vec v)$ ----> conserva il prodotto
Sia $V$ il sotto spazio di partenza della funzione e sia $W$ l'insieme di arrivo allora una funzione è lineare se (o applicazione lineare) :
1. $\vec v_1$,$\vec v_2$ $in$ $V$ e siano $f(\vec v_1) e f(\vec v_2)$ le relative immagini $f(\vec v_1+\vec v_2) = f(\vec v_1) + (\vec v_1)$ ---> conserva la somma
2. $a in K , \vec v in V f(a*\vec v) = a*f(\vec v)$ ----> conserva il prodotto
Applica la definizione alla funzione inversa e guarda cosa succede 
Allora la Mia ipotesi è :
$f(a_1*\vec v_1+...+a_n*\vec v_n) = a_1f(\vec v_1) +...+a_nf(\vec v_1)$ --->altra definizione di linearità.
la Mia Tesi è :
$f^(-1)[f(a_1*\vec v_1+...+a_n*\vec v_n)] = f^(-1)(a_1f(\vec v_1))+...+f^(-1)(a_1f(\vec v_1))$
essendo $f^(-1)$ iniettiva posso scrivere $f^(-1) [f(a_1*\vec v_1+...+a_n*\vec v_n)] = f^(-1)(a_1f(\vec v_1))+...+f^(-1)(a_1f(\vec v_1)) $ equivalente a $ f(a_1*\vec v_1+...+a_n*\vec v_n) = ?$
e qui io mi inceppo..ti scrivo come ha fatto la proffa :
ipotesi :$ f(a_1*\vec v_1+...+a_n*\vec v_n) = a_1f(\vec v_1) +...+a_nf(\vec v_1) $
tesi :
$ f^(-1)(a_1*\vec v_1+...+a_n*\vec v_n) = a_1f^(-1)(vec v_1)+...+a_nf^(-1)(vec v_n)$ e qui gia non capisco...perché la tesi l'ha scritta in questo modo?
nella dimostrazione la testi la riscrive in forma equivalente cosi :
$f[f^(-1)(a_1*\vec v_1+...+a_n*\vec v_n)] = f[a_1f^(-1)(vec v_1)+...+a_nf^(-1)(vec v_n)]$---> perché è una forma equivalente?
$f(a_1*\vec v_1+...+a_n*\vec v_n) = a_1f(\vec v_1) +...+a_nf(\vec v_1)$ --->altra definizione di linearità.
la Mia Tesi è :
$f^(-1)[f(a_1*\vec v_1+...+a_n*\vec v_n)] = f^(-1)(a_1f(\vec v_1))+...+f^(-1)(a_1f(\vec v_1))$
essendo $f^(-1)$ iniettiva posso scrivere $f^(-1) [f(a_1*\vec v_1+...+a_n*\vec v_n)] = f^(-1)(a_1f(\vec v_1))+...+f^(-1)(a_1f(\vec v_1)) $ equivalente a $ f(a_1*\vec v_1+...+a_n*\vec v_n) = ?$
e qui io mi inceppo..ti scrivo come ha fatto la proffa :
ipotesi :$ f(a_1*\vec v_1+...+a_n*\vec v_n) = a_1f(\vec v_1) +...+a_nf(\vec v_1) $
tesi :
$ f^(-1)(a_1*\vec v_1+...+a_n*\vec v_n) = a_1f^(-1)(vec v_1)+...+a_nf^(-1)(vec v_n)$ e qui gia non capisco...perché la tesi l'ha scritta in questo modo?
nella dimostrazione la testi la riscrive in forma equivalente cosi :
$f[f^(-1)(a_1*\vec v_1+...+a_n*\vec v_n)] = f[a_1f^(-1)(vec v_1)+...+a_nf^(-1)(vec v_n)]$---> perché è una forma equivalente?
La tua tesi è che la funzione sia lineare quindi è corretto quello che scrive la tua Professoressa:
$f^(-1)(a_1*\vec v_1+...+a_n*\vec v_n) = a_1f^(-1)(vec v_1)+...+a_nf^(-1)(vec v_n)$
Non ti resta che dimostrarlo:
Troviamo i vettori del codominio in base alla funzione sul dominio (1):
$v_1= k_(1,1) f(v_1) +...+ k_(1,n) f(v_n)$
$...$
$v_n= k_(n,1) f(v_1)+...+k_(n,n)f(v_n)$
Ora possiamo sostituire i vettori con le loro combinazioni:
$f^(-1)(a_1(k_(1,1) f(v_1) +...+ k_(1,n) f(v_n)) + ...+ a_n(k_(n,1) f(v_1)+...+k_(n,n)f(v_n)))$
Per la linearità della funzione possiamo portare dentro somme e coefficienti:
$f^(-1)(f(a_1(k_(1,1) v_1 +...+ k_(1,n) v_n) + ...+ a_n(k_(n,1) v_1+...+k_(n,n)v_n)))$
Ma questo per la definizione di funzione inversa è uguale a :
$a_1(k_(1,1) v_1 +...+ k_(1,n) v_n) + ...+ a_n(k_(n,1) v_1+...+k_(n,n)v_n)=$
$=a_1 f^(-1) (f(k_(1,1) v_1 +...+ k_(1,n) v_n) )+ ...+ a_n f^(-1) (f(k_(n,1) v_1+...+k_(n,n)v_n))$
Ma abbiamo visto in (1) :
$=a_1 f^(-1) (v_1)+ ...+ a_n f^(-1) (v_n)$
QED
$f^(-1)(a_1*\vec v_1+...+a_n*\vec v_n) = a_1f^(-1)(vec v_1)+...+a_nf^(-1)(vec v_n)$
Non ti resta che dimostrarlo:
Troviamo i vettori del codominio in base alla funzione sul dominio (1):
$v_1= k_(1,1) f(v_1) +...+ k_(1,n) f(v_n)$
$...$
$v_n= k_(n,1) f(v_1)+...+k_(n,n)f(v_n)$
Ora possiamo sostituire i vettori con le loro combinazioni:
$f^(-1)(a_1(k_(1,1) f(v_1) +...+ k_(1,n) f(v_n)) + ...+ a_n(k_(n,1) f(v_1)+...+k_(n,n)f(v_n)))$
Per la linearità della funzione possiamo portare dentro somme e coefficienti:
$f^(-1)(f(a_1(k_(1,1) v_1 +...+ k_(1,n) v_n) + ...+ a_n(k_(n,1) v_1+...+k_(n,n)v_n)))$
Ma questo per la definizione di funzione inversa è uguale a :
$a_1(k_(1,1) v_1 +...+ k_(1,n) v_n) + ...+ a_n(k_(n,1) v_1+...+k_(n,n)v_n)=$
$=a_1 f^(-1) (f(k_(1,1) v_1 +...+ k_(1,n) v_n) )+ ...+ a_n f^(-1) (f(k_(n,1) v_1+...+k_(n,n)v_n))$
Ma abbiamo visto in (1) :
$=a_1 f^(-1) (v_1)+ ...+ a_n f^(-1) (v_n)$
QED
adesso la dimostrazione mi è chiara ma perché la tesi è quella?
Nel senso se io ho una $f(a) = b$ l'inversa è $f^-1(b) = a$ ma la tesi cosi scritta è $f^-1(a)$ ?
Nel senso se io ho una $f(a) = b$ l'inversa è $f^-1(b) = a$ ma la tesi cosi scritta è $f^-1(a)$ ?
Lo spazio è lo stesso, sia di arrivo che di partenza, quindi avrai sia $a$ nel dominio che $a$ nel codominio 
e per questo la tesi che ho scritto io la posso scrivere come l'ha scritta la prof?
Si, solitamente si scrive la tesi sempre lavorando su una base più che sulla funzione applicata alla base..
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