Inventare sistemi lineari che accettano punti o piani

[Camillo]

Per il primo quesito inventa un sistema di 2 equazioni in 2 incognite che abbia una sola soluzione , cioè una sola coppia $(x,y)$.
Il determinante della matrice dei coefficienti deve essere $ne 0 $
Esempio :
$3x+2y =4 $
$x+y=5 $

$det ((3,2),(1,1)) = 1 ne 0 $

Ok una sola soluzione : $x= -6 ; y=11 $
Adesso dobbiamo inventarci un'altra equazione che abbia la stessa soluzione . basterà fare una combinazione lineare delle due equazioni precedenti, ad es, moltiplicare la prima per $2$,la seconda per $1$ e sommarle ottenendo l'ultima equazione :
$ 7x +5y = 13 $.

Il sistema è dunque

$3x+2y =4 $
$x+y=5 $
$ 7x +5y = 13 $.

[Camillo]

Per il secondo quesito si vuole un sistema di 3 equazioni che abbia come soluzione un piano e quindi $oo^2 $ soluzioni ; se si volesse una sola soluzione si avrebbero $oo ^0 $ soluzioni cioè appunto 1 soluzione .
se si volesse una retta come soluzione allora $oo ^1 $ soluzioni.
Torniamo al nostro caso : numero incognite $n=3 $ per avere $oo^2 $ soluzioni bisogna che $n-r= 2 $ essendo $r $ il rango della matrice dei coefficienti. OK ?
Quindi ad es.

$3x+2y-5z=13 $
$6x+4y-10z= 26 $

matrice dei coefficienti $A=((3,2,-5),(6,4,-10)) ; r(A)= 1 $

la seconda equaz è multipla della prima - se il termine noto non fosse anch'esso moltiplicato per lo stesso coefficiente il sistema sarebbe impossibile.Se la seconda equazione non fosse multipla della prima allora $r(A)= 2 $ e il sistema avrebbe
$n-r=1 $ e quindi $oo^1 $ soluzioni -una retta.
Sistema :
$3x+2y-5z=13 $
$6x+4y-10z= 26 $


Soluzione $ [x,y, 1/5(3x+2y-13)] $