Intuizione sulla coomologia: buchi bi e tridimensionali
Buonasera a tutti,
sto ragionando da qualche giorno sul significato intuitivo del
concetto di coomologia.
Formalmente, data una varieta` differenziabile $n$-dimensionale $M$,
il $k$-esimo gruppo di coomologia, con $k <= n$, e` definito come
$H^k(M) = \frac{Z^k (M)}{B^k (M)}$
essendo
$Z^k (M)$ lo spazio delle $k$-forme chiuse definite sulla varieta`;
$B^k (M)$ lo spazio delle $k$-forme esatte definite sulla varieta`.
In questo momento sono piu` interessata all'aspetto intuitivo che
alle proprieta` formali: informalmente il $k$-esimo gruppo di
coomologia e` un invariante topologico che tiene conto del numero
di "buchi $k+1$-dimensionali".
Non ho trovato da nessuna parte una definizione soddisfacente
di "buco k-dimensionale" (anzi e` proprio l'omologia lo strumento
adatto per definirli in modo appropriato) ma in alcuni
casi semplici sembra abbastanza intuitivo capire cosa si intenda.
1) $S^2$: la sfera
Prendiamo la sfera $S^2$, pensandola come superficie
immersa in $\mathbb{R}^3$, e cerchiamo di capire intuitivamente
la dimensione dei gruppi di coomologia.
$dim{H^0(S^2)} = 1$: indica il numero di componenti connesse.
$dim{H^1(S^2)} = 0$: indica il numero di "buchi bidimensionali" della sfera.
$dim{H^2(S^2)} = 1$: il numero di "buchi tridimensionali" della sfera. Dunque il solo interno della sfera.
2) $T$ : il toro
Consideriamo il toro $T$, pensandolo ancora come superficie
immersa in $\mathbb{R}^3$. In questo caso si avra`:
$dim{H^0(T)} = 1$: indica il numero di componenti connesse.
$dim{H^1(T)} = 2$: indica il numero di "buchi bidimensionali" del toro.
Dove una delle due dimensioni si ottiene tagliando
il toro "verticalmente" in un punto casuale, e l'altra
"trasportando il taglio" tutt'intorno al toro.
$dim{H^2(T)} = 1$: indica il numero di "buchi tridimensionali" del toro. Dunque solo il suo interno.
Quanto ho scritto sono tentativi personali di adattare la definizione di "buco"
alle varieta` in questione ("barando", ossia conoscendo la dimensione corretta
del gruppo di coomologia
). Hanno senso?
In particolare non so giustificare $dim{H^1(S^2)} = 0$, infatti mi parrebbe
che il ragionamento fatto per $H^1(T)$ (tagliare e poi ruotare il complementare
interno della sezione ottenuta) sia applicabile anche a questo caso, dando come
risultato la dimensione (errata) $dim{H^1(S^2)} = 2$. Suggerimenti?
Qualcuno saprebbe spiegarmi un po' meglio la questione, o riportare esempi piu`
articolati di stima intuitiva della dimensione del gruppo di coomologia?
Grazie!
sto ragionando da qualche giorno sul significato intuitivo del
concetto di coomologia.
Formalmente, data una varieta` differenziabile $n$-dimensionale $M$,
il $k$-esimo gruppo di coomologia, con $k <= n$, e` definito come
$H^k(M) = \frac{Z^k (M)}{B^k (M)}$
essendo
$Z^k (M)$ lo spazio delle $k$-forme chiuse definite sulla varieta`;
$B^k (M)$ lo spazio delle $k$-forme esatte definite sulla varieta`.
In questo momento sono piu` interessata all'aspetto intuitivo che
alle proprieta` formali: informalmente il $k$-esimo gruppo di
coomologia e` un invariante topologico che tiene conto del numero
di "buchi $k+1$-dimensionali".
Non ho trovato da nessuna parte una definizione soddisfacente
di "buco k-dimensionale" (anzi e` proprio l'omologia lo strumento
adatto per definirli in modo appropriato) ma in alcuni
casi semplici sembra abbastanza intuitivo capire cosa si intenda.
1) $S^2$: la sfera
Prendiamo la sfera $S^2$, pensandola come superficie
immersa in $\mathbb{R}^3$, e cerchiamo di capire intuitivamente
la dimensione dei gruppi di coomologia.
$dim{H^0(S^2)} = 1$: indica il numero di componenti connesse.
$dim{H^1(S^2)} = 0$: indica il numero di "buchi bidimensionali" della sfera.
$dim{H^2(S^2)} = 1$: il numero di "buchi tridimensionali" della sfera. Dunque il solo interno della sfera.
2) $T$ : il toro
Consideriamo il toro $T$, pensandolo ancora come superficie
immersa in $\mathbb{R}^3$. In questo caso si avra`:
$dim{H^0(T)} = 1$: indica il numero di componenti connesse.
$dim{H^1(T)} = 2$: indica il numero di "buchi bidimensionali" del toro.
Dove una delle due dimensioni si ottiene tagliando
il toro "verticalmente" in un punto casuale, e l'altra
"trasportando il taglio" tutt'intorno al toro.
$dim{H^2(T)} = 1$: indica il numero di "buchi tridimensionali" del toro. Dunque solo il suo interno.
Quanto ho scritto sono tentativi personali di adattare la definizione di "buco"
alle varieta` in questione ("barando", ossia conoscendo la dimensione corretta
del gruppo di coomologia
). Hanno senso?In particolare non so giustificare $dim{H^1(S^2)} = 0$, infatti mi parrebbe
che il ragionamento fatto per $H^1(T)$ (tagliare e poi ruotare il complementare
interno della sezione ottenuta) sia applicabile anche a questo caso, dando come
risultato la dimensione (errata) $dim{H^1(S^2)} = 2$. Suggerimenti?
Qualcuno saprebbe spiegarmi un po' meglio la questione, o riportare esempi piu`
articolati di stima intuitiva della dimensione del gruppo di coomologia?
Grazie!
Risposte
Stai confondendo la coomologia singolare con la coomologia di de Rham; le due teorie coomologiche [cfr. [2], thm 3.9 pag. 86] sono isomorfe secondo Eilenberg-Steenrod, ma dimostrare che questo e' vero, e capire cosa vuol dire, e' piuttosto profondo.
Cio' che ti permette di ragionare cosi' e' che la coomologia di de Rham, pur essendo definita mediante proprieta' differenziali di una varieta', e' un invariante topologico [cfr. [4], thm. 5.9.19 pag. 300]: questo segue dall'isomorfismo tra la coomologia di de Rham e la coomologia di Cech a valori nel fascio costante in [tex]\mathbb R[/tex], ed e' anche lui un risultato che serve una certa destrezza per maneggiare e per comprendere.
Mantenere una intuizione geometrica di quello che succede tuttavia e' possibile: puoi per esempio provare a suddividere la varieta' in complessi di celle, oppure trovare "direttamente" la sua omologia singolare. Se suddividi la sfera e il toro in complessi simpliciali (in [1], viene portato ad esempio il cilindro $S^1\times [0,1]$), per esempio, a quel punto i "cicli" sono davvero cammini chiusi, e i "bordi", cioe' i cicli che non orlano buchi, sono davvero bordi geometrici che hanno i suddetti cammini chiusi per bordo. Se leggi qui vedrai uno o due esempi (molto giocattolo) applicati allo studio dei grafi: la cosa divertente e' che basta davvero dell'algebra lineare in $\mathbb Z_2$ per fare quei conti!
Vi sono libri che danno una intuizione geometrica davvero immediata della costruzione dell'omologia singolare di uno spazio:
1. Homology di S. Mac Lane
2. Homology Theory, di J. Vick
3. Algebraic Topology: an intuitive approach, di H. Sato
4. Geometria Differenziale, M. Abate e F. Tovena, cap. 5.
Cio' che ti permette di ragionare cosi' e' che la coomologia di de Rham, pur essendo definita mediante proprieta' differenziali di una varieta', e' un invariante topologico [cfr. [4], thm. 5.9.19 pag. 300]: questo segue dall'isomorfismo tra la coomologia di de Rham e la coomologia di Cech a valori nel fascio costante in [tex]\mathbb R[/tex], ed e' anche lui un risultato che serve una certa destrezza per maneggiare e per comprendere.
Mantenere una intuizione geometrica di quello che succede tuttavia e' possibile: puoi per esempio provare a suddividere la varieta' in complessi di celle, oppure trovare "direttamente" la sua omologia singolare. Se suddividi la sfera e il toro in complessi simpliciali (in [1], viene portato ad esempio il cilindro $S^1\times [0,1]$), per esempio, a quel punto i "cicli" sono davvero cammini chiusi, e i "bordi", cioe' i cicli che non orlano buchi, sono davvero bordi geometrici che hanno i suddetti cammini chiusi per bordo. Se leggi qui vedrai uno o due esempi (molto giocattolo) applicati allo studio dei grafi: la cosa divertente e' che basta davvero dell'algebra lineare in $\mathbb Z_2$ per fare quei conti!
Vi sono libri che danno una intuizione geometrica davvero immediata della costruzione dell'omologia singolare di uno spazio:
1. Homology di S. Mac Lane
2. Homology Theory, di J. Vick
3. Algebraic Topology: an intuitive approach, di H. Sato
4. Geometria Differenziale, M. Abate e F. Tovena, cap. 5.
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