Intorno di un punto è chiuso?

[Domodossola1]

Salve a tutti, io so che dato un insime A e uno spazio topologico T, x si dice punto interno ad A se esiste un intorno in x contenuto in A. Si dice poi intorno di x ogni insieme contente x con tutta una palla (o che contenga una palla centrata in x). Ora però stavo affrontando la dimostrazione del teorema che dice: una funzione continua manda insieme aperti in aperti, o come dice il mio professore "in una funzione continua la controimmagine di un aperto è aperta". Però nella fine della dimostrazione dice questa frase: "l'insieme $f^{-1}(A)$ essendo intorno di un suo punto è aperto"..quindi mi domando per definizione l'intorno è aperto? Grazie per l'attenzione

[@melia]

Sì, per definizione un intorno è aperto, anche se talvolta si trova un insieme chiuso che contiene un intorno (aperto) e lo si chiama intorno lo stesso.

[Domodossola1]

Scusate stavo continuando a ragionarci sopra ed ho pensato..l'intorno di un punto può essere anche chiuso però nella frase "l'insieme $f^{-1}(A)$ essendo intorno di un suo punto è aperto" si riferisce ad un punto qualsiasi di $f^{-1}(A)$ quindi se $f^{-1}(A)$ deve essere intorno di ogni suo punto e siccome un insieme A è intorno di un punto se contiene quel punto con tutta una palla, allora $f^{-1}(A)$ deve essere aperto perchè se fosse chiuso gli estremi non avrebbero $f^{-1}(A)$ come intorno, giusto?

[Seneca1]

[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Geometria.[/xdom]

[Domodossola1]

Geometria??????

[Seneca1]

Sì. Gli argomenti di questa stanza sono: "Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia." Non so perché l'hai postato nel forum delle superiori, però...

[Domodossola1]

ok scusa allora..comunque l'ho postato perchè il dubbio mi è nato da un teorema e nel caso mi avessero chiesto di che teorema stessi parlando l'avrei postato..pardon

[dissonance]

"Domodossola":una funzione continua manda insieme aperti in aperti,

Falso. Controesempio: \(f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)=x^2\). Qual è l'immagine dell'insieme aperto \((-1, 1)\)?

o come dice il mio professore "in una funzione continua la controimmagine di un aperto è aperta".

Questo è vero, e non è equivalente all'affermazione precedente.

Però nella fine della dimostrazione dice questa frase: "l'insieme $f^{-1}(A)$ essendo intorno di un suo punto è aperto"..quindi mi domando per definizione l'intorno è aperto?

\(f^{-1}(A)\), essendo intorno di ogni suo punto, è aperto. Stai attento, queste imprecisioni nel linguaggio sono molto gravi, falsano tutto il senso del discorso che fai.

Comunque, di solito si chiama "intorno" di un punto \(p\) un insieme contenente un aperto contenente \(p\). Quindi un intorno non è necessariamente aperto. Tutto questo ha comunque poca importanza per la proposizione che cerchi di dimostrare.