Intorno di un punto
Ciao a tutto il forum!
Ho un problema su un esercizio del mio libro di analisi.
Si ponga $f(x,y)=(x^2y)/(x^4+y^2)$
Si richiede verificare se, preso un $epsilon>0$, l'insieme $A = {(x,y): |f(x,y)|<=epsilon}$ è un intorno di $(0,0)$ oppure no.
Non so proprio come fare. Una possibile risposta è ovvia: si sa che l'insieme in questione NON è un intorno dell'origine, perché non esiste il limite di quella funzione nel punto $(0,0)$, tuttavia si richiede di dimostrarlo senza fare uso di questa informazione.
Io ho cercato di usare la definizione di intorno (in $R^3$, che è uno spazio metrico), e quindi propormi di verificare se A contiene o no una palla con centro $(0,0,0)$. Ma una volta arrivato a questo punto non saprei come andare avanti.
Se riusciste ad aiutarmi, mi fareste un grande favore! Grazie!
Ho un problema su un esercizio del mio libro di analisi.
Si ponga $f(x,y)=(x^2y)/(x^4+y^2)$
Si richiede verificare se, preso un $epsilon>0$, l'insieme $A = {(x,y): |f(x,y)|<=epsilon}$ è un intorno di $(0,0)$ oppure no.
Non so proprio come fare. Una possibile risposta è ovvia: si sa che l'insieme in questione NON è un intorno dell'origine, perché non esiste il limite di quella funzione nel punto $(0,0)$, tuttavia si richiede di dimostrarlo senza fare uso di questa informazione.
Io ho cercato di usare la definizione di intorno (in $R^3$, che è uno spazio metrico), e quindi propormi di verificare se A contiene o no una palla con centro $(0,0,0)$. Ma una volta arrivato a questo punto non saprei come andare avanti.
Se riusciste ad aiutarmi, mi fareste un grande favore! Grazie!
Risposte
si potrebbe mostrare che per ogni intorno di (0,0) c'è un punto che non soddisfa quella relazione, e lo puoi fare trovando una successione $x_n$ che tende a (0,0) per cui $f(x_n)->+oo$ (credo si dimostri così che non è continua) questa potrebbe essere un idea, non ho controllato però che sia vero il limite 
Ehm... non mi sembra: se io prendessi una successione $x_n$ che tende a $(0,0)$, allora $f(x_n)$ non tenderebbe all'infinito, dato che appunto non esiste il limite di $f(x)$ nel punto $(0,0)$.
Forse vuoi dire che dovrei trovare una successione $x_n$ tale che $EEi : f(x_i)rarroo$? Se non è così, allora non mi è chiaro quello che vuoi dire. Se invece è così, non ne capisco la motivazione.
Forse vuoi dire che dovrei trovare una successione $x_n$ tale che $EEi : f(x_i)rarroo$? Se non è così, allora non mi è chiaro quello che vuoi dire. Se invece è così, non ne capisco la motivazione.
tu dici che la funzione non è continua ed io non ho verificato comunque esisterà una successione $x_n$ tale che $f(x_n)$ tende ad infinito o a qualche valore diverso da zero. La condizione che si richiede (mi confonde il "preso un") credo si riferisca a per ogni $epsilon$ andrò avanti supponendolo nel caso $f(x_n)$ tenda ad infinito per nessun $epsilon$ vale quella condizione perchè ogni intorno dell'origine conterrà la successione da un certo indice in poi e quindi essendo $f(x_n)>epsilon$ se $n>>1$ nessun intorno verifica la condizione , mentre nel caso il limite sia finito L possiamo prendere ad esempio $epsilon=L/2$ e con lo stesso ragionamento di prima concludiamo che nessun intorno verifica la condizione per $epsilon$. spero sia più chiaro e soprattutto che sia giusto. ciao
Ciao.
Scusa, ho capito il tuo ragionamento, però questo non mi convince sul fatto che, dimostrando quello che hai detto tu, si risolva l'esercizio.
Comunque non c'è più il bisogno: fortunatamente (a volte capita e meno male!) mi è venuta un'illuminazione e ho trovato un metodo molto semplice e veloce per risolvere l'esercizio. Grazie comunque Rubik per la fatica che hai speso per aiutarmi! Ancora scusa. Ciao!
PS.: con questo, sono 100 messaggi!!!
Evviva!
Scusa, ho capito il tuo ragionamento, però questo non mi convince sul fatto che, dimostrando quello che hai detto tu, si risolva l'esercizio.
Comunque non c'è più il bisogno: fortunatamente (a volte capita e meno male!) mi è venuta un'illuminazione e ho trovato un metodo molto semplice e veloce per risolvere l'esercizio. Grazie comunque Rubik per la fatica che hai speso per aiutarmi! Ancora scusa. Ciao!
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