Intervallo chiuso della retta reale è compatto

[Jerico1]

Ciao,
avrei la seguente domanda: come dimostrare che ogni intervallo chiuso della retta reale (del tipo $[a,b]$) è compatto?
(senza ricorrrere al teorema di Heine Borel)

Sto' seguendo una linea per assurdo (come le dispense che ho), ma alcuni punti non mi convincono e preferiscono ripercorrerli.

In breve non ho capito come portare a termine questa dimostrazione di seguito.

Ogni supporto è il benvenuto, scusate la confusione, ma rispecchia fedelmente quella che ho in testa.

Jerico

DIM:
Se per assurdo $[a,b]$ non fosse compatto allora esisterebbe un ricoprimento aperto di $ \R $ da cui non è possibile estrarre un sottoricoprimento finito.

Sia $S={A_i}$ questo ricoprimento aperto.

Definisco $X={x\in[a,b] : [a,x] $ è ricoperto da un numero finito di elementi di $S}$

$X \ne \phi $ in quanto almeno $a\inX$, dato che $a$ è contenuto in un aperto (PRIMO PUNTO OSCURO)

Dopodichè la linea di dimostrazione si snoda nel considerare $z=SupX$ (affermando che $z>a$, SECONDO PUNTO OSCURO) e dimostrando che $z=b$ (TERZO PUNTO OSCURO)

[j18eos]

CIa0 Jerico,

da quanto tempo?

"Jerico":...Definisco $ X={x\in[a,b] : [a,x] $ è ricoperto da un numero finito di elementi di $ S} $

$ X \ne \emptyset $ in quanto almeno $ a\inX $, dato che $ a $ è contenuto in un aperto...

Veramente dovresti definire:
\[
X=\{x\in[a;b]\mid [a;x]\,\text{è ricopribile con finiti aperti di}\,[a;b]\}
\]
ti si dovrebbe chiarire il primo punto oscuro!