Intersezioni e autospazi

Sk_Anonymous
Vorrei capire perchè se prendo due vettori di due autospazi diversi (dello stesso endomorfismo) questi sono sempre indipendenti tra di loro.

Io ho pensato:
1) L'intersezione tra due autospazi corrisponde al vettore nullo. Se così non fosse, ci sarebbe almeno un vettore che sarebbe autovettore rispetto a due autovalori distinti, il che è assurdo

2) Prendiamo due sottospazi vettoriali A e B la cui intersezione sia nulla. Prendiamo $a in A$ e $n$ vettori indipendenti di $B$. Se $a$ dipende da quegli $n$ vettori, può essere scritto come combinazione lineare di quegli $n$ vettori. Ma se B è sottospazio vettoriale, contiene tutte le combinazioni lineari dei suoi vettori, quindi deve essere $a in B$. IL che è assurdo perchè avevamo detto che l'intersezione tra A e B è nulla

Tutto giusto? E' sufficiente per dimostrare che dati due autovettori di due autospazi diversi essi sono indipendenti?

Risposte
Sk_Anonymous
Secondo me è anche troppo complicata. Se fossero linearmente dipendenti allora sarebbero proporzionali, quindi sarebbero associati allo stesso autovalore.

Sk_Anonymous
Scusa sono stato poco rigoroso io.

Dati due autospazi vettoriali $A$ e $B$ associati ad autovalori distinti, preso un insieme $I_1={a_1,...,a_n}$ formata da $n$ vettori di A indipendenti tra di loro, e un altro insieme $I_2={b_1,...,b_m}$ formato da $m$ vettori di B indipendenti tra di loro, l'insieme [tex]I_1 \cup I_2[/tex] formato da $n+m$ vettori è un insieme di vettori indipendenti tra di loro?

Sk_Anonymous
Immaginavo tu intendessi dimostrare un risultato più generale. Ma anche in questo caso puoi ragionare in termini più semplici. Se, per esempio, $vec(a_1)$ fosse una qualsiaisi combinazione lineare di ${vec(b_1),vec(b_2),...,vec(b_m)}$, allora $vec(a_1)$ sarebbe esso stesso un autovettore appartenente al secondo autovalore.

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