Intersezioni di Sottospazi Vettoriali

[Flamber]

Ho un problema con l'intersezione degli spazi vettoriali;

Non che non lo sappia fare, ma lo vedo "ad occhio", nel senso confrontando i due sottospazi, ma nemmeno a dirlo, tutta questa "sicurezza" che ho con gli esercizi a casa, crolla quando si avvicina l'esame; Considerando che ho ho raggiunto un livello discreto in algebra lineare (considerando ovviamente il solo programma del mio corso), questa "lacuna" mi da fastidio.

C'è un metodo algebrico serio per fare un'intersezione? Ve ne propongo uno

$ U=L((1,0,0);(2,3,4))$
$ V=L((2,0,0);(2,0,4))$

con due righe di calcoli, ma si vede anche senza scrivere troppo, che l'intersezione sono i soli vettori $(x,0,0)$

ma se volessi arrivare analiticamente ad un risultato? Come posso fare?

[Seneca1]

Potresti trovare equazioni cartesiane per i due piani vettoriali $U,V$ e risolvere un sistema lineare.

[Flamber]

Si sicuramente sarebbe rigoroso come ragionamento, ma c'è un sistema meno macchinoso? se scrivo un vettore generico di U ed un vettore generico di V, e poi ne uguaglio le componenti dovrei ottenere qualcosa, solo che alcune volte mi perdo qualche passaggio

[Seneca1]

Non è macchinoso, si tratta di calcolare il determinante di due matrici $3 times 3$...

[Flamber]

Ah non pensavo ti riferissi a questo, solo che non lo so fare... Secondo te in che capitolo del libro posso trovarlo? Perchè nell'indice analitico non ho trovato nulla

[Seneca1]

$((x_1),(x_2),(x_3)) \in U$ deve essere combinazione lineare dei vettori della base di $U$ . Quindi $"det"((x_1 , 1 ,2 ),(x_2 , 0 ,3 ),(x_3 , 0, 4)) = 0$ dà l'equazione cartesiana del piano $U$.

[Flamber]

Grazie mille ad entrambi, era proprio ciò che stavo cercando.

[Seneca1]

Ma quali scuse... Ben venga che mi si faccia la critica.

In ogni caso il metodo si può generalizzare, no? Se la matrice non è quadrata si vanno a considerare i minori.