Intersezione tra piani

[Valund]

Determinare l'intersezione tra il piano vettoriale generato dai vettori $ (1; 0; 0; 0)$ e $(0; 1; 0; 0)$
e il piano affine passante per i punti $ P-= [2; 1; 1;-1]_R, Q -=[1; 0;-1;-1]_R$ e $R-=[0; 1; 1; 0]_R.$

Potreste svolgere questo esercizio per farmi capire come funziona?

[wnvl]

(w,x,y,z)

equazione piano 1:
y=0
z=0

equazione piano 2:
w=2+k(2-1)+l(2-0)
x=1+k(1-0)+l(1-1)
y=1+k(1+1)+l(1-1)
z=-1+k(-1+1)+l(-1-0)

6 equazioni e 6 sconosciuti
Adesso puoi determinare l'intersezione...

[Quinzio]

Aggiungo qualcosa al post, anche se è già stata data la spiegazione corretta, lo faccio anche per me siccome in un primo momento ha spiazzato anche me questo esercizio.
Un punto generico del piano vettoriale è
$\lambda_1({:(1),(0),(0),(0):})+\lambda_2({:(0),(1),(0),(0):})$

Il piano affine
$P+\alpha(Q-P)+\beta(R-P) =({:(2),(1),(1),(-1):})+\alpha({:(1),(1),(2),(0):})+\beta({:(2),(0),(0),(-1):})$
In pratica deve verificarsi questa equazione:

$\lambda_1({:(1),(0),(0),(0):})+\lambda_2({:(0),(1),(0),(0):}) =({:(2),(1),(1),(-1):})+\alpha({:(1),(1),(2),(0):})+\beta({:(2),(0),(0),(-1):})$

cioè i punti di un piano devono appartenere anche all'altro.

Riscrivo come:
$\lambda_1({:(1),(0),(0),(0):})+\lambda_2({:(0),(1),(0),(0):})-\alpha({:(1),(1),(2),(0):})-\beta({:(2),(0),(0),(-1):})= ({:(2),(1),(1),(-1):})$

che è un sistema nelle incognite già evidenti:
$({:(1,0,-1,-2),(0,1,-1,0),(0,0,-2,0),(0,0,0,1):})({:(\lambda_1),(\lambda_2),(\alpha),(\beta):})=({:(2),(1),(1),(-1):})$

Si vede subito che $\alpha=-1/2$ e $\beta=-1$
che sostituite nell'equazione del piano affine danno il punto:
$(-9/2,-3/2,0,0)$
che è l'intersezione, (un punto non un vettore...).