Intersezione sottospazi vettoriali
Ho cercato ovunque.. ma non sono riuscito a capire l'intersezione di due spazi vettoriali... è possibile una dimostrazione con i dati di sotto:
V e W sottospazi di $R^4$
$V = {(x,y,z,t) є R^4 : y+z+t = x+y-z=0}$
$W =<(-1,-1,0,-1),(-1,1,0,1),(3,1,0,1)>$
Grazie!!
V e W sottospazi di $R^4$
$V = {(x,y,z,t) є R^4 : y+z+t = x+y-z=0}$
$W =<(-1,-1,0,-1),(-1,1,0,1),(3,1,0,1)>$
Grazie!!
Risposte
Cosa non riesci a capire dell'intersezione di due spazi vettoriali? Vuoi sapere come è definita?
beh di definizioni ne ho lette, vorrei sapere praticamente come si fa, perchè vengo confuso da degli esempi! 
Vuoi trovare una base dell'intersezione?
Puoi fare così: trova le equazioni di entrambi i sottospazi e metti a sistema.
Per esempio in questo caso
$V=\{(x,y,z,t)in RR^4: y+z+t=x+y-z=0\}$
$W=\{(x,y,z,t)in RR^4: y-t=z=0\}$
da cui i vettori di $V\cap W$ sono tutti e soli i vettori $(x,y,z,t)in RR^4$ tali che
${(y+z+t=0),(x+y-z=0),(y-t=0),(z=0):}$
Risolvendo si ha che l'unica soluzione è quella nulla. Quindi $V\cap W=\{0\}$.
Metodo 2: trovo la dimensione di $V+W$. Facendo un po' di facili conti ottengo che $V+W=RR^4$, da cui $"dim"(V+W)=4$. Inoltre $"dim"V=2$ e $"dim"W=2$.
Dalla formula di Grassmann, ottengo che
$"dim"(V\capW)="dim"V+"dim"W-4"dim"(V+W)=2+2-4=0$
Da cui riottengo che
$"dim"(VcapW)=0$ cioè $VcapW=\{0\}$
Spero di non aver commesso errori.
Puoi fare così: trova le equazioni di entrambi i sottospazi e metti a sistema.
Per esempio in questo caso
$V=\{(x,y,z,t)in RR^4: y+z+t=x+y-z=0\}$
$W=\{(x,y,z,t)in RR^4: y-t=z=0\}$
da cui i vettori di $V\cap W$ sono tutti e soli i vettori $(x,y,z,t)in RR^4$ tali che
${(y+z+t=0),(x+y-z=0),(y-t=0),(z=0):}$
Risolvendo si ha che l'unica soluzione è quella nulla. Quindi $V\cap W=\{0\}$.
Metodo 2: trovo la dimensione di $V+W$. Facendo un po' di facili conti ottengo che $V+W=RR^4$, da cui $"dim"(V+W)=4$. Inoltre $"dim"V=2$ e $"dim"W=2$.
Dalla formula di Grassmann, ottengo che
$"dim"(V\capW)="dim"V+"dim"W-4"dim"(V+W)=2+2-4=0$
Da cui riottengo che
$"dim"(VcapW)=0$ cioè $VcapW=\{0\}$
Spero di non aver commesso errori.
"cirasa":
Vuoi trovare una base dell'intersezione?
Puoi fare così: trova le equazioni di entrambi i sottospazi e metti a sistema.
Per esempio in questo caso
$V=\{(x,y,z,t)in RR^4: y+z+t=x+y-z=0\}$
$W=\{(x,y,z,t)in RR^4: y-t=z=0\}$
da cui i vettori di $V\cap W$ sono tutti e soli i vettori $(x,y,z,t)in RR^4$ tali che
${(y+z+t=0),(x+y-z=0),(y-t=0),(z=0):}$
Risolvendo si ha che l'unica soluzione è quella nulla. Quindi $V\cap W=\{0\}$.
Metodo 2: trovo la dimensione di $V+W$. Facendo un po' di facili conti ottengo che $V+W=RR^4$, da cui $"dim"(V+W)=4$. Inoltre $"dim"V=2$ e $"dim"W=2$.
Dalla formula di Grassmann, ottengo che
$"dim"(V\capW)="dim"V+"dim"W-4"dim"(V+W)=2+2-4=0$
Da cui riottengo che
$"dim"(VcapW)=0$ cioè $VcapW=\{0\}$
Spero di non aver commesso errori.
L'espressione W posso considerarla come V?? So che W sono generatori di vettori...
Poi un'altra osservazione, non riesco a capire le ultime due equazioni del sistema ${(y-t=0),(z=0):}$ dove le hai ricavate, forse mettendo a sistema i vettori di W e facendo le opportuni semplificazioni?
"style246":
L'espressione W posso considerarla come V?? So che W sono generatori di vettori...
Scusami style246, non vorrei apparire sgarbato, ma hai provato a rileggere il tuo post?
Anche in italiano, non si capisce mica cosa hai scritto!
- "L'espressione W": $W$ non è un'espressione, ma è un sottospazio;
- "posso considerarla come V??": che significa?
- "W sono": $W$ è al singolare, questa frase è grammaticalmente scorretta;
- "W sono generatori di vettori": $W$ è un sottospazio, non è un insieme di generatori.
Forse volevi dire: "$W$ è determinato mediante un suo insieme di generatori. Come hai fatto a passare alla sua rappresentazione mediante equazioni omogenee?"
Certo, forse si può capire cosa volevi dire, ma non posso fare la parafrasi dei tuoi post.
Mi permetto di consigliarti di prestare più attenzione per le prossime volte!
Anche in vista di un'esame, è sempre bene abituarsi ad usare un linguaggio adeguato.
Detto questo, ho capito bene la tua domanda?
"cirasa":
[quote="style246"]L'espressione W posso considerarla come V?? So che W sono generatori di vettori...
Scusami style246, non vorrei apparire sgarbato, ma hai provato a rileggere il tuo post?
Anche in italiano, non si capisce mica cosa hai scritto!
- "L'espressione W": $W$ non è un'espressione, ma è un sottospazio;
- "posso considerarla come V??": che significa?
- "W sono": $W$ è al singolare, questa frase è grammaticalmente scorretta;
- "W sono generatori di vettori": $W$ è un sottospazio, non è un insieme di generatori.
Forse volevi dire: "$W$ è determinato mediante un suo insieme di generatori. Come hai fatto a passare alla sua rappresentazione mediante equazioni omogenee?"
Certo, forse si può capire cosa volevi dire, ma non posso fare la parafrasi dei tuoi post.
Mi permetto di consigliarti di prestare più attenzione per le prossime volte!
Anche in vista di un'esame, è sempre bene abituarsi ad usare un linguaggio adeguato.
Detto questo, ho capito bene la tua domanda?[/quote]
Scusami tu, non conosco bene i vari termini per gli spazi vettoriali...
Comunque hai decifrato bene la mia domanda
Ad esempio qui, in questo esercizio, non riesco a capire come ha "creato" quel sistema!
Uno spazio vettoriale (e quindi anche un sottospazio) può essere descritto anche da un'espressione analitica, mediante quindi un'equazione, lineare ed omogenea.
In questo caso abbiamo due spazi, uno descritto mediante un'equazione e l'altro mediante i suoi generatori.
Ragioniamo un secondo sui generatori. I generatori sono quei vettori che "generano" lo spazio, ovvero i vettori attraverso la cui combinazione lineare è possibile esprimere tutti i vettori dello spazio.
NB Se questi generatori sono linearmente indipendenti allora formano una base.
Il nostro spazio $W$ dell'esempio da te postato, è espresso attraverso i suoi generatori, pertanto ogni vettore $winW$ si potrà scrivere come combinazione lineare dei suoi (di $W$) vettori generatori. E chi ha svolto l'esercizio ha fatto questo.
Presi $3$ generici scalari $a,b,c$ ne ha fatta una generica combinazione lineare. Ora sostituendo a $a,b,c$ degli scalari che vuoi, ottieni tutti i vettori che stanno in $W$.
Ora passiamo a $V$. Questo spazio vettoriale è espresso tramite una equazione che ci dice semplicemente che tutti quei vettori la cui prima coordinata $x$ a cui sottraiamo 2 volte la seconda coordinata $y$ danno resto $0$ ($x-2y=0$) e la cui seconda coordinata $y$ addizionata l'ultima coordinata $z$ hanno somma uguale a $0$ (cioè $y+z=0$) vi fanno parte.
L'intersezione (che sia insiemistica o in questo caso di spazi vettoriali -ti ricordo che lo spazio vettoriale è formato da un insieme-) è costituita da quei vettori che appartengono sia a $W$ (e quindi potranno esprimerci come combinazione lineare dei generatori) sia a $V$ (e quindi saranno soluzione di quell'equazione lì)
quindi hanno preso una generica combinazione lineare dei vettori di $W$ ed hanno imposto che rispondesse alle equazioni di $V$.
Se noti infatti la prima equazione del sistema altro non è che $x-2y=0$, ove $x=-a+2b$ e $y=-2b$.
Spero di essere stato chiaro ed utile, anche se l'ho presa un pò alla lontana
In questo caso abbiamo due spazi, uno descritto mediante un'equazione e l'altro mediante i suoi generatori.
Ragioniamo un secondo sui generatori. I generatori sono quei vettori che "generano" lo spazio, ovvero i vettori attraverso la cui combinazione lineare è possibile esprimere tutti i vettori dello spazio.
NB Se questi generatori sono linearmente indipendenti allora formano una base.
Il nostro spazio $W$ dell'esempio da te postato, è espresso attraverso i suoi generatori, pertanto ogni vettore $winW$ si potrà scrivere come combinazione lineare dei suoi (di $W$) vettori generatori. E chi ha svolto l'esercizio ha fatto questo.
Presi $3$ generici scalari $a,b,c$ ne ha fatta una generica combinazione lineare. Ora sostituendo a $a,b,c$ degli scalari che vuoi, ottieni tutti i vettori che stanno in $W$.
Ora passiamo a $V$. Questo spazio vettoriale è espresso tramite una equazione che ci dice semplicemente che tutti quei vettori la cui prima coordinata $x$ a cui sottraiamo 2 volte la seconda coordinata $y$ danno resto $0$ ($x-2y=0$) e la cui seconda coordinata $y$ addizionata l'ultima coordinata $z$ hanno somma uguale a $0$ (cioè $y+z=0$) vi fanno parte.
L'intersezione (che sia insiemistica o in questo caso di spazi vettoriali -ti ricordo che lo spazio vettoriale è formato da un insieme-) è costituita da quei vettori che appartengono sia a $W$ (e quindi potranno esprimerci come combinazione lineare dei generatori) sia a $V$ (e quindi saranno soluzione di quell'equazione lì)
quindi hanno preso una generica combinazione lineare dei vettori di $W$ ed hanno imposto che rispondesse alle equazioni di $V$.
Se noti infatti la prima equazione del sistema altro non è che $x-2y=0$, ove $x=-a+2b$ e $y=-2b$.
Spero di essere stato chiaro ed utile, anche se l'ho presa un pò alla lontana
"mistake89":
Uno spazio vettoriale (e quindi anche un sottospazio) può essere descritto anche da un'espressione analitica, mediante quindi un'equazione, lineare ed omogenea.
In questo caso abbiamo due spazi, uno descritto mediante un'equazione e l'altro mediante i suoi generatori.
Ragioniamo un secondo sui generatori. I generatori sono quei vettori che "generano" lo spazio, ovvero i vettori attraverso la cui combinazione lineare è possibile esprimere tutti i vettori dello spazio.
NB Se questi generatori sono linearmente indipendenti allora formano una base.
Il nostro spazio $W$ dell'esempio da te postato, è espresso attraverso i suoi generatori, pertanto ogni vettore $winW$ si potrà scrivere come combinazione lineare dei suoi (di $W$) vettori generatori. E chi ha svolto l'esercizio ha fatto questo.
Presi $3$ generici scalari $a,b,c$ ne ha fatta una generica combinazione lineare. Ora sostituendo a $a,b,c$ degli scalari che vuoi, ottieni tutti i vettori che stanno in $W$.
Ora passiamo a $V$. Questo spazio vettoriale è espresso tramite una equazione che ci dice semplicemente che tutti quei vettori la cui prima coordinata $x$ a cui sottraiamo 2 volte la seconda coordinata $y$ danno resto $0$ ($x-2y=0$) e la cui seconda coordinata $y$ addizionata l'ultima coordinata $z$ hanno somma uguale a $0$ (cioè $y+z=0$) vi fanno parte.
L'intersezione (che sia insiemistica o in questo caso di spazi vettoriali -ti ricordo che lo spazio vettoriale è formato da un insieme-) è costituita da quei vettori che appartengono sia a $W$ (e quindi potranno esprimerci come combinazione lineare dei generatori) sia a $V$ (e quindi saranno soluzione di quell'equazione lì)
quindi hanno preso una generica combinazione lineare dei vettori di $W$ ed hanno imposto che rispondesse alle equazioni di $V$.
Se noti infatti la prima equazione del sistema altro non è che $x-2y=0$, ove $x=-a+2b$ e $y=-2b$.
Spero di essere stato chiaro ed utile, anche se l'ho presa un pò alla lontana
Sei stato chiarissimo ed utilissimo, grazie davvero!! Finalmente ci ho capito qualcosa!
@cirasa:
Non capisco come hai fatto a ricavare l'equazione analitica di W del primo esercizio...
Non capisco come hai fatto a ricavare l'equazione analitica di W del primo esercizio...
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