Intersezione sottospazi

[Slashino1]

Salve a tutti. Ho un omomorfismo $f:RR^4->RR^3$. Il problema mi chiede di verificare se $(Ker)_(\bot )\oplus Imf = RR^4$. Dal momento che $(Ker)_(\bot )$ rappresenta i vettori del tipo $(x,y,z,t)$ mentre $Imf$ quelli del tipo $(x,y,z)$ come posso verificare che la loro intersezione sia nulla? Cioè i due sottospazi in questione sono confrontabili?

[_prime_number]

L'unica cosa che mi viene in mente è che consideri $Im f$ come "immerso" in $\mathbb{R}^4$ tramite l'inclusione $I(x,y,z)=(x,y,z,0)$... ma è davvero solo un'idea... Non hai magari il testo completo?

Paola

[Slashino1]

L'esercizio completo è:
Sia $f:RR^4->RR^3$ l'omomorfismo tale che $f(x,y,z)=(x+2y-z+2t,2y-2z,-x-z-2t)$.
Determinare la dimensione e base di $(Ker)_(\bot )$.
Determinare un sistema lineare che rappresenti $Imf$
Dire se $(Ker)_(\bot )\oplus Imf = RR^4$

Non so quanto possa aiutare

[Slashino1]

Ragazzi nemmeno uno spunto?

[starsuper]

La sto studiando anche io come te quindi non prenderla per giusta, ma affinche la somma diretta sia vera l'intesezione dei 2 sottospazi deve essere nulla. A questo punto ti conviene rappresentare il sottospazio di dimensione minore in forma parametrica, ricavarne il vettore generico e sostitutirlo nella cartesiana che rapprsenta l'altro sottospazio...

[Slashino1]

Evidentemente mi perdo qualche passaggio. Dai calcoli viene che $dim(Ker)_(\bot )=3$ e in particolare una sua base è
$B_1={(1,0,0,2),(0,1,0,0),(0,0,1,0)}$. $Im_f$ ha anche dimensione pari a $3$ e una sua base è : $B_2={(1,0,0),(2,2,0),(-1,-2,2)}$. A questo punto, come facciamo a confrontare i tuo sottospazi?