Intersezione sottospazi

[alexinfurs]

Salve a tutti. posto una semplice domanda della quale non sono sicuro della risposta.

Siano W e U due sottospazi di $ RR^4 $ tali che dim W = 3 e dim U = 2. E’ possibile che
il sottospazio U ∩ W sia costituito dal solo vettore nullo?

Risponderei si, dato che mi sembra sia possibile che i due sottospazi non abbiano elementi comuni se non il vettore nullo.
E quale sarebbe la risposta se le due dimensioni fossero uguali?

Grazie in anticipo a tutti e buona giornata.

[vict85]

La risposta è senza dubbio no. Se l'intersezione fosse il vettore nullo allora preso una base di W e una base di U avresti una base della loro unione. In altre parole la loro unione avrebbe dimensione 5 (cosa impossibile!) e i vettori della base sarebbero tutti indipendenti (ma 5 vettori in $RR^4$ non sono mai indipendenti). Qualsiasi sia il modo che usi tra i due che ti ho scritto li rimane il fatto che hanno almeno un sottospazio di dimensione 1 in comune (U può anche essere un sottospazio di W).

[alexinfurs]

Sei stato chiarissimo, grazie infinite!

Quindi, seguendo il ragionamento, se le due dimensioni fossero state entrambe 2, la risposta sarebbe stata si. Corretto?

[orazioster]

direi proprio di sì.