Intersezione Somma di Sottospazi
Ciao a tutti!!!
Chi mi può consigliare un link, un metodo o qualcosa per risolvere un esercizio di questo tipo :
Trovare le equazioni cartesiani e basi di
V, W, V+W, VintersezioneW
con
V=<(2 -5 3 4)(1 2 0 -7)(3 -6 2 5)>
W=<2 0 -4 6)(1 1 1 1)(3 3 1 5)>
Sul mio libro non c'è niente
Grazie anticipate!!
Chi mi può consigliare un link, un metodo o qualcosa per risolvere un esercizio di questo tipo :
Trovare le equazioni cartesiani e basi di
V, W, V+W, VintersezioneW
con
V=<(2 -5 3 4)(1 2 0 -7)(3 -6 2 5)>
W=<2 0 -4 6)(1 1 1 1)(3 3 1 5)>
Sul mio libro non c'è niente
Grazie anticipate!!
Risposte
Io direi che partendo con Grassman hai molte informazioni utili.
Inoltre considera che $V,W$ sono entrambi sottospazi di $RR^4$, quindi la loro somma descriverà al più $RR^4$, pertanto l'intersezione non sarà banale...
prova a scartare i vettori linearmente dipendenti, applica grassman ed hai finito!
Inoltre considera che $V,W$ sono entrambi sottospazi di $RR^4$, quindi la loro somma descriverà al più $RR^4$, pertanto l'intersezione non sarà banale...
prova a scartare i vettori linearmente dipendenti, applica grassman ed hai finito!
Grazie mille per la risposta!!!!
Stamattina mi sono messo di santa pazienza, leggendo qualche file su internet e ho provato a risolvere... ma ho davvero tanti dubbi...
Cominciamo.
Allora
1) Base di V : formo una matrice con i vettori disposti per riga e la riduco a scala :
$ [(2,-5,3,4),(1,2,0,-7),(3,-6,2,5)] -> [(1,2,0,-7),(0,-3,1,6),(0,0,-2,2)]$
Quindi ho trovato che una base è (1,2,0,-7),(0,-3,1,6),(0,0,-2,2). Giusto?
2) Equazione di V (e qui cominciano i dolori) : formo una matrice con i vettori disposti per colonne + 1 di variabili e riduco a scala :
$ [(2,1,3,x),(-5,2,-6,y),(3,0,2,z),(4,-7,5,t)] -> [(2,1,3,x),(0,-3,-5,-3x+2z),(0,0,-12,-4x+2y+6z),(0,0,14,7x-6z+t)]$
Qui non trovo righe zero, quindi?! (anche se controllando con un programma lui le trova... forse ho sbagliato qualche passaggio.. anche se l'ho controllato due volte!!!]
3) Base di W : stesso discorso, dispongo i vettori per riga e riduco a scala ottenendo :
$ [(1,0,-2,3),(0,1,3,-2),(0,0,1,-1)] $ quindi la base è formata da (1,0,-2,3),(0,1,3,-2),(0,0,1,-1) giusto?
4) Equazioni di W : dispongo i vettori per colonna e riduco a scala ottendo :
$ [(2,1,3,x),(0,1,3,y),(0,0,-2,2x-3y+z),(0,0,0,-x-y+t+z)] $ ora qui l'ho trovata una riga zero, quindi il sistema (anche se con una equazione) è questo. Ora devo risovlerlo rispetto a una variabile?
5) Base di V+W : dispongo i 6 vettori per riga in una matrice e riduco a scala, ottenendo :
$ [(1,2,0,-7),(0,3,-1,-6),(0,0,1,-1),(0,0,0,1),(0,0,0,0),(0,0,0,0)] $ quindi una base è (1,2,0,-7),(0,3,-1,-6),(0,0,1,-1)?
6) Equazioni di V+W : come sopra, dispongo i 6 vettori per colonne + 1 e risolvo a scala? Una volta trovato il sistema, devo risolverlo?
7) Equazioni di VintersezioneW : dovrei unire le equazioni di W e V e risolvere a scala.. corretto? Anche qui, devo risolvere rispetto qualche variabile?
8) Base di VintersezioneW : come faccio dal sistema a trovare la base?
Grazie mille della pazienza... ma dal materiale che ho è davvero difficile riuscire a capire davvero..
Grazie anticipate
Stamattina mi sono messo di santa pazienza, leggendo qualche file su internet e ho provato a risolvere... ma ho davvero tanti dubbi...
Cominciamo.
Allora
1) Base di V : formo una matrice con i vettori disposti per riga e la riduco a scala :
$ [(2,-5,3,4),(1,2,0,-7),(3,-6,2,5)] -> [(1,2,0,-7),(0,-3,1,6),(0,0,-2,2)]$
Quindi ho trovato che una base è (1,2,0,-7),(0,-3,1,6),(0,0,-2,2). Giusto?
2) Equazione di V (e qui cominciano i dolori) : formo una matrice con i vettori disposti per colonne + 1 di variabili e riduco a scala :
$ [(2,1,3,x),(-5,2,-6,y),(3,0,2,z),(4,-7,5,t)] -> [(2,1,3,x),(0,-3,-5,-3x+2z),(0,0,-12,-4x+2y+6z),(0,0,14,7x-6z+t)]$
Qui non trovo righe zero, quindi?! (anche se controllando con un programma lui le trova... forse ho sbagliato qualche passaggio.. anche se l'ho controllato due volte!!!]
3) Base di W : stesso discorso, dispongo i vettori per riga e riduco a scala ottenendo :
$ [(1,0,-2,3),(0,1,3,-2),(0,0,1,-1)] $ quindi la base è formata da (1,0,-2,3),(0,1,3,-2),(0,0,1,-1) giusto?
4) Equazioni di W : dispongo i vettori per colonna e riduco a scala ottendo :
$ [(2,1,3,x),(0,1,3,y),(0,0,-2,2x-3y+z),(0,0,0,-x-y+t+z)] $ ora qui l'ho trovata una riga zero, quindi il sistema (anche se con una equazione) è questo. Ora devo risovlerlo rispetto a una variabile?
5) Base di V+W : dispongo i 6 vettori per riga in una matrice e riduco a scala, ottenendo :
$ [(1,2,0,-7),(0,3,-1,-6),(0,0,1,-1),(0,0,0,1),(0,0,0,0),(0,0,0,0)] $ quindi una base è (1,2,0,-7),(0,3,-1,-6),(0,0,1,-1)?
6) Equazioni di V+W : come sopra, dispongo i 6 vettori per colonne + 1 e risolvo a scala? Una volta trovato il sistema, devo risolverlo?
7) Equazioni di VintersezioneW : dovrei unire le equazioni di W e V e risolvere a scala.. corretto? Anche qui, devo risolvere rispetto qualche variabile?
8) Base di VintersezioneW : come faccio dal sistema a trovare la base?
Grazie mille della pazienza... ma dal materiale che ho è davvero difficile riuscire a capire davvero..
Grazie anticipate
Provo a risponderti punto per punto, però non controllerò i calcoli che hai fatto perché li odio 
Sì. Ma avresti anche potuto dire, visto che i tre vettori $(2,-5,3,4),(1,2,0,-7),(3,-6,2,5)$ sono linearmente indipendenti (l'hai provato riducendo a gradini) e generano $V$ allora sono una base.
Qui il discorso è più complesso, nel senso che per trovare le equazioni di un sottospazio ci sono vari metodi. Cosa certa è che avendo lo spazio dimensione 3, ci dovrà essere una sola equazione a descrivere lo spazio.
Stesso discorso cui sopra!
Anche qui: dimensione dello spazio $3$, allora una sola equazione basterà a descrivere tutto il nostro spazio $W$
Sì giusto. Ti basta in realtà scartare i vettori linearmente dipendenti per avere una base.
6) 7) come sopra.
Quanto all'8) innnanzi tutto sai la sua dimensione dalla formula di grassman, poi per definizione di intersezione, basterà mettere a sistema le equazioni dei due sottospazi (poichè per appartenere ad entrambi devono soddisfarle entrambe) e risolverle, ottenendo così un'equazione dell'intersezione e di conseguenza una base.
se hai ancora dei dubbi, chiedi pure!
"AttraversamiIlCuore":
Grazie mille per la risposta!!!!
Stamattina mi sono messo di santa pazienza, leggendo qualche file su internet e ho provato a risolvere... ma ho davvero tanti dubbi...
Cominciamo.
Allora
1) Base di V : formo una matrice con i vettori disposti per riga e la riduco a scala :
$ [(2,-5,3,4),(1,2,0,-7),(3,-6,2,5)] -> [(1,2,0,-7),(0,-3,1,6),(0,0,-2,2)]$
Quindi ho trovato che una base è (1,2,0,-7),(0,-3,1,6),(0,0,-2,2). Giusto?
Sì. Ma avresti anche potuto dire, visto che i tre vettori $(2,-5,3,4),(1,2,0,-7),(3,-6,2,5)$ sono linearmente indipendenti (l'hai provato riducendo a gradini) e generano $V$ allora sono una base.
2) Equazione di V (e qui cominciano i dolori) : formo una matrice con i vettori disposti per colonne + 1 di variabili e riduco a scala :
$ [(2,1,3,x),(-5,2,-6,y),(3,0,2,z),(4,-7,5,t)] -> [(2,1,3,x),(0,-3,-5,-3x+2z),(0,0,-12,-4x+2y+6z),(0,0,14,7x-6z+t)]$
Qui non trovo righe zero, quindi?! (anche se controllando con un programma lui le trova... forse ho sbagliato qualche passaggio.. anche se l'ho controllato due volte!!!]
Qui il discorso è più complesso, nel senso che per trovare le equazioni di un sottospazio ci sono vari metodi. Cosa certa è che avendo lo spazio dimensione 3, ci dovrà essere una sola equazione a descrivere lo spazio.
3) Base di W : stesso discorso, dispongo i vettori per riga e riduco a scala ottenendo :
$ [(1,0,-2,3),(0,1,3,-2),(0,0,1,-1)] $ quindi la base è formata da (1,0,-2,3),(0,1,3,-2),(0,0,1,-1) giusto?
Stesso discorso cui sopra!
4) Equazioni di W : dispongo i vettori per colonna e riduco a scala ottendo :
$ [(2,1,3,x),(0,1,3,y),(0,0,-2,2x-3y+z),(0,0,0,-x-y+t+z)] $ ora qui l'ho trovata una riga zero, quindi il sistema (anche se con una equazione) è questo. Ora devo risovlerlo rispetto a una variabile?
Anche qui: dimensione dello spazio $3$, allora una sola equazione basterà a descrivere tutto il nostro spazio $W$
5) Base di V+W : dispongo i 6 vettori per riga in una matrice e riduco a scala, ottenendo :
$ [(1,2,0,-7),(0,3,-1,-6),(0,0,1,-1),(0,0,0,1),(0,0,0,0),(0,0,0,0)] $ quindi una base è (1,2,0,-7),(0,3,-1,-6),(0,0,1,-1)?
Sì giusto. Ti basta in realtà scartare i vettori linearmente dipendenti per avere una base.
6) Equazioni di V+W : come sopra, dispongo i 6 vettori per colonne + 1 e risolvo a scala? Una volta trovato il sistema, devo risolverlo?
7) Equazioni di VintersezioneW : dovrei unire le equazioni di W e V e risolvere a scala.. corretto? Anche qui, devo risolvere rispetto qualche variabile?
8) Base di VintersezioneW : come faccio dal sistema a trovare la base?
6) 7) come sopra.
Quanto all'8) innnanzi tutto sai la sua dimensione dalla formula di grassman, poi per definizione di intersezione, basterà mettere a sistema le equazioni dei due sottospazi (poichè per appartenere ad entrambi devono soddisfarle entrambe) e risolverle, ottenendo così un'equazione dell'intersezione e di conseguenza una base.
se hai ancora dei dubbi, chiedi pure!
Intanto grazie mille!! Sei stato gentilissimo e disponibilissimo!!
Per quanto riguarda i calcoli concordo.... LI ODIO!!!!
Si, ovviamente ancora l'argomento è un pò duro... volevo chiederti....
- Tu mi dicevi che ci sono vari metodi per trovare le equazioni dei sottospazi, ad esempio? Uno sarà quello che ho trovato io, cio ricondursi a matrice per colonne e risolvere a gradini... ce ne sono altri più "comodi" ?
- Non ho ben capito il fatto che sicuramente uno spazio su $ R^3 $ (qui non è $ R^4 $ ?) ha una sola equazione.. in base a cosa riesci a dirlo?
- Per il punto 8 quindi mi basta prendere le due equazioni di V e W, metterle a sistema e ridurlo a gradini?
Grazie ancora
Per quanto riguarda i calcoli concordo.... LI ODIO!!!!
Si, ovviamente ancora l'argomento è un pò duro... volevo chiederti....
- Tu mi dicevi che ci sono vari metodi per trovare le equazioni dei sottospazi, ad esempio? Uno sarà quello che ho trovato io, cio ricondursi a matrice per colonne e risolvere a gradini... ce ne sono altri più "comodi" ?
- Non ho ben capito il fatto che sicuramente uno spazio su $ R^3 $ (qui non è $ R^4 $ ?) ha una sola equazione.. in base a cosa riesci a dirlo?
- Per il punto 8 quindi mi basta prendere le due equazioni di V e W, metterle a sistema e ridurlo a gradini?
Grazie ancora
Ragazzi scusate se riesumo il topic... ma sono davvero in alto mare... allora ho prvato a rifare l'esercizio.... ma intanto ho due domande (che si sono banali, però nel dubbio chiedo) :
1) Quando lavoro con la matrice associata posso spostare i vettori per poter agevolare i conti?
2) Quando lavoro con la matrice per ridurla a gradini posso dividere tutta una riga per un numero e lasciarla cosi, o altero il vettore? Se ad esempio io ho una riga della matrice come 0,2,4,8 devo lasciarla cosi o posso dividerla per 2?
Grazie intanto...
Riprendendo il testo di inizio topic ho che
1) Base di V, ho messo i vettorinella matrice (per riga) e l'ho ridotta a gradini... una base ottenuta è $<(1,2,0,-7),(0,-9,3,18),(0,0,-2,2)>
2) Equazioni di V, ho messo i vettori nella matrice (per colonna) aggiungendo il vettore $ [x,y,z,t] $ ridotta a scala ed ho ottenuto l'equazione $ (7x+7y+3z+3t)/3 $
3) Base di W, come punto 1 ed ho ottenuto la base $<(1,1,1,1),(0,-2,-6,4),(0,0,-2,2)>$
4) Equazioni di W, come punto 2 ed ho ottenuto $t-x=0$
5) Base di V+W, ho messo le due basi trovate in una matrice (per riga) e l'ho ridotta a scala ottenendo $<(1,2,0,-7),(0,1,-1,8),(0,0,-2,2),(0,0,0,-60)>
6) Equazioni di V+W e qui mi blocco.. seguito il passo 2 con le basi trovate nel passo 5, ma non mi si azzera nessuna riga... come procedo?
I conti credo siano giusti perchè li ho controllati al pc... forse sbaglio perchè ho cambiato l'ordine dei vettori e divisi? E' qui l'errore?
Poi volevo chiedervi se esiste un metodo (o un programma non so) per controllare questi esercizi.... grazie anticipate
1) Quando lavoro con la matrice associata posso spostare i vettori per poter agevolare i conti?
2) Quando lavoro con la matrice per ridurla a gradini posso dividere tutta una riga per un numero e lasciarla cosi, o altero il vettore? Se ad esempio io ho una riga della matrice come 0,2,4,8 devo lasciarla cosi o posso dividerla per 2?
Grazie intanto...
Riprendendo il testo di inizio topic ho che
1) Base di V, ho messo i vettorinella matrice (per riga) e l'ho ridotta a gradini... una base ottenuta è $<(1,2,0,-7),(0,-9,3,18),(0,0,-2,2)>
2) Equazioni di V, ho messo i vettori nella matrice (per colonna) aggiungendo il vettore $ [x,y,z,t] $ ridotta a scala ed ho ottenuto l'equazione $ (7x+7y+3z+3t)/3 $
3) Base di W, come punto 1 ed ho ottenuto la base $<(1,1,1,1),(0,-2,-6,4),(0,0,-2,2)>$
4) Equazioni di W, come punto 2 ed ho ottenuto $t-x=0$
5) Base di V+W, ho messo le due basi trovate in una matrice (per riga) e l'ho ridotta a scala ottenendo $<(1,2,0,-7),(0,1,-1,8),(0,0,-2,2),(0,0,0,-60)>
6) Equazioni di V+W e qui mi blocco.. seguito il passo 2 con le basi trovate nel passo 5, ma non mi si azzera nessuna riga... come procedo?
I conti credo siano giusti perchè li ho controllati al pc... forse sbaglio perchè ho cambiato l'ordine dei vettori e divisi? E' qui l'errore?
Poi volevo chiedervi se esiste un metodo (o un programma non so) per controllare questi esercizi.... grazie anticipate
"AttraversamiIlCuore":
6) Equazioni di V+W e qui mi blocco.. seguito il passo 2 con le basi trovate nel passo 5, ma non mi si azzera nessuna riga... come procedo?
Quoto! Come si fa? ;__; sto impazzendo! Mi sono trovata la matrice identica accanto alla colonna delle equazioni!
una cosa del genere:
$ ( ( 1 , 0 , 0 , x ),( 0 , 1 , 0 , z+x ),( 0 , 0 , 1 , y-3x-z ) ) $
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