Intersezione quadrica e piano
Ciao ragazzi, ho un piccolo problema. Devo stabilire se la conica intersezione del seguente piano
$x - 2y=0$
con la seguente quadrica
$x^2 + z^2 -8x - 2z=0$
è una circonferenza, ed in caso affermativo trovarne centro e raggio.
Ora non so come procedere. Perché ad occhio mi rendo contro che l'intersezione della quadrica con il piano xz è una circonferenza, pertanto la quadrica dovrebbe essere un cilindro con asse ortogonale al piano xz.
Quello che non capisco è se posso dire che anche l'intersezione con il piano $x - 2y=0$ è una circonferenza. Perché ad occhio direi che è un ellisse. Posso giustificare ad un esame tale affermazione dicendo che il piano non è perpendicolare alle direttrici del cilindri, e che quindi non devo procedere al calcolo di centro e raggio, oppure esiste una procedura rigorosa da seguire?
$x - 2y=0$
con la seguente quadrica
$x^2 + z^2 -8x - 2z=0$
è una circonferenza, ed in caso affermativo trovarne centro e raggio.
Ora non so come procedere. Perché ad occhio mi rendo contro che l'intersezione della quadrica con il piano xz è una circonferenza, pertanto la quadrica dovrebbe essere un cilindro con asse ortogonale al piano xz.
Quello che non capisco è se posso dire che anche l'intersezione con il piano $x - 2y=0$ è una circonferenza. Perché ad occhio direi che è un ellisse. Posso giustificare ad un esame tale affermazione dicendo che il piano non è perpendicolare alle direttrici del cilindri, e che quindi non devo procedere al calcolo di centro e raggio, oppure esiste una procedura rigorosa da seguire?
Risposte
Scusa TeM, ma non capisco.
La conica che cerco è rappresentata nello spazio dal sistema di equazioni e non da una sola equazione.
Tu ricavi centro e semiassi di un'ellisse prendendo in considerazione solo la prima equazione del sistema che ottieni dopo la sostituzione... ma nello spazio essa non rappresenta un ellisse bensì un cilindro ellittico, mentre la conica è l'intersezione di tale cilindro con il piano, ed è quindi rappresentata dall'intero sistema.
Quelli che hai trovato sono, imho, centro e semiassi dell'ellisse che ottieni dall'intersezione del piano yz e del cilindro ottenuto con la sostituzione.
La conica che cerco è rappresentata nello spazio dal sistema di equazioni e non da una sola equazione.
Tu ricavi centro e semiassi di un'ellisse prendendo in considerazione solo la prima equazione del sistema che ottieni dopo la sostituzione... ma nello spazio essa non rappresenta un ellisse bensì un cilindro ellittico, mentre la conica è l'intersezione di tale cilindro con il piano, ed è quindi rappresentata dall'intero sistema.
Quelli che hai trovato sono, imho, centro e semiassi dell'ellisse che ottieni dall'intersezione del piano yz e del cilindro ottenuto con la sostituzione.
Non capisco secondo quale criterio scrivi che da quella scrittura si evince che si tratta di un'ellisse e non di una circonferenza.
Le due scritture sono equivalenti... in una abbiamo l'equazione di un cilindro circolare a sistema con quella di un piano, nella seconda invece abbiamo quella di un cilindro ellittico a sistema con quella dello stesso piano, ed in entrambi i casi l'intersezione dà ovviamente luogo alla medesima curva.
Però a me pare che non possiamo distinguere se tale curva sia una ellisse o una circonferenza a meno di non valutare l'inclinazione del piano rispetto all'asse (o alle generatrici) del cilindro (uno qualunque dei due).
La traccia dell'esercizio mi chiede esplicitamente di valutare in primis se si tratta di una circonferenza e soltanto dopo di calcolarne eventualmente centro e raggio.
Comunque grazie per la pazienza
Le due scritture sono equivalenti... in una abbiamo l'equazione di un cilindro circolare a sistema con quella di un piano, nella seconda invece abbiamo quella di un cilindro ellittico a sistema con quella dello stesso piano, ed in entrambi i casi l'intersezione dà ovviamente luogo alla medesima curva.
Però a me pare che non possiamo distinguere se tale curva sia una ellisse o una circonferenza a meno di non valutare l'inclinazione del piano rispetto all'asse (o alle generatrici) del cilindro (uno qualunque dei due).
La traccia dell'esercizio mi chiede esplicitamente di valutare in primis se si tratta di una circonferenza e soltanto dopo di calcolarne eventualmente centro e raggio.
Comunque grazie per la pazienza
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