Intersezione numerabile di compatti
Ciao!
devo dimostrare la seguente cosa
sia $(X,T)$ uno spazio topologio e sia ${K_n}_(n in NN)$ una famiglia decrescente di compatti chiusi, allora $bigcap_(n in NN)K_n ne emptyset$
io lo dimostrerei così; se per assurdo fosse $bigcap_(n in NN)K_n=emptyset$ allora $bigcup_(n in NN)K_n^c=X$ e quindi
quindi essendo $K_n^c$ aperto in $X$ si ottiene che ${K_1capK_n^c}_(n in NN)$ è un ricoprimento aperto di $K_1$.
Per la compattezza di $K_1$ esistono $n_1,...,n_k$ per cui
da questo si ottiene che $K_1subsetbigcup_(i=1)^(k)K_(n_i)^c=(bigcap_(i=1)^(k)K_(n_i))^c$ ma allo stesso tempo essendo $K_(n_i) subsetK_1$ per ogni $i=1,...,k$ si ha che $bigcap_(i=1)^(k)K_(n_i)subsetK_1$ il che è assurdo.
Come la vedete la dimostrazione? Inoltre indebolirei anche l'ipotesi che debbano essere tutti compatti e assumerei che soltanto $K_1$ sia compatto.
devo dimostrare la seguente cosa
sia $(X,T)$ uno spazio topologio e sia ${K_n}_(n in NN)$ una famiglia decrescente di compatti chiusi, allora $bigcap_(n in NN)K_n ne emptyset$
io lo dimostrerei così; se per assurdo fosse $bigcap_(n in NN)K_n=emptyset$ allora $bigcup_(n in NN)K_n^c=X$ e quindi
$bigcup_(n in NN)(K_1capK_n^c)=K_1capbigcup_(n in NN)K_n^c=K_1capX=K_1$
quindi essendo $K_n^c$ aperto in $X$ si ottiene che ${K_1capK_n^c}_(n in NN)$ è un ricoprimento aperto di $K_1$.
Per la compattezza di $K_1$ esistono $n_1,...,n_k$ per cui
$K_1=bigcup_(i=1)^(k)(K_1capK_(n_i)^(c))$
da questo si ottiene che $K_1subsetbigcup_(i=1)^(k)K_(n_i)^c=(bigcap_(i=1)^(k)K_(n_i))^c$ ma allo stesso tempo essendo $K_(n_i) subsetK_1$ per ogni $i=1,...,k$ si ha che $bigcap_(i=1)^(k)K_(n_i)subsetK_1$ il che è assurdo.
Come la vedete la dimostrazione? Inoltre indebolirei anche l'ipotesi che debbano essere tutti compatti e assumerei che soltanto $K_1$ sia compatto.
Risposte
Hai dimenticato di specificare che \(K_n\) deve essere non vuoto per ogni \(n\). È un aspetto importante perché quell'unione è l'unione di una famiglia crescente di aperti. Quindi la loro unione coincide con il più grande di tutti. Pertanto è l'essere non nullo che stai contraddicendo.
La famiglia deve essere di chiusi per avere come limite un chiuso, ed usi la loro chiusura quando costruisci il ricoprimento. Assumere che siano compatti è ridondante in quanto un chiuso in un compatto è esso stesso compatto. Pertanto non stai indebolendo le ipotesi rimovendo la parola compatto dal testo.
La famiglia deve essere di chiusi per avere come limite un chiuso, ed usi la loro chiusura quando costruisci il ricoprimento. Assumere che siano compatti è ridondante in quanto un chiuso in un compatto è esso stesso compatto. Pertanto non stai indebolendo le ipotesi rimovendo la parola compatto dal testo.
Ciao vict 
Hai ragione ho sbagliato a non specificarlo
Si fondamentalmente sto solo togliendo ciò che si otterrebbe lo stesso; non so perché il testo lo specificasse
Per il resto ti sembra corretta?
"vict85":
Hai dimenticato di specificare che \( K_n \) deve essere non vuoto per ogni \( n \). È un aspetto importante perché quell'unione è l'unione di una famiglia crescente di aperti. Quindi la loro unione coincide con il più grande di tutti. Pertanto è l'essere non nullo che stai contraddicendo.
Hai ragione ho sbagliato a non specificarlo
"vict85":
La famiglia deve essere di chiusi per avere come limite un chiuso, ed usi la loro chiusura quando costruisci il ricoprimento. Assumere che siano compatti è ridondante in quanto un chiuso in un compatto è esso stesso compatto. Pertanto non stai indebolendo le ipotesi rimovendo la parola compatto dal testo.
Si fondamentalmente sto solo togliendo ciò che si otterrebbe lo stesso; non so perché il testo lo specificasse
Per il resto ti sembra corretta?
A parte le (giuste) precisazioni che ha fatto vict85 la dimostrazione va bene, non è nemmeno contorta come le tue dimostrazioni solite!
@otta
Avevo scritto un macello e ho tolto il superfluo
Avevo scritto un macello e ho tolto il superfluo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo