Intersezione e somma di sottospazi vettoriali?
Ciao a tutti, ho quest esercizio:
"Siano U(k)=L(Sk) e U=L(S) i sottospazi vettoriali di R^4, dove S(k)=[(k,1,-1,0),(2,-2,2,0),(0,0,0,3)] e S=[(1,0,0,1),(-2,0,0,0),(1,1,-1,1)].
Determinare dimU(k); determinare nel caso k=-1, U(-1) $nn$ U e U(-1) + U.
Allora per la prima parte non ci sono problemi, mi scrivo la matrice riduco a scalini e studio un po' il rango al variare di k e con la formula dim=n-r dove n è il numero di variabili, trovo la dimensione.
E' la seconda parte che non capisco. Se mi avesse chiesto la dim di U(-1) $nn$ U e U(-1) + U, allora con la formula di grassmann non ci sarebbero stati problemi, ma lui vuole proprio l'intersezione e la somma dei due sottospazi.
Come posso procedere?
Grazie mille.
"Siano U(k)=L(Sk) e U=L(S) i sottospazi vettoriali di R^4, dove S(k)=[(k,1,-1,0),(2,-2,2,0),(0,0,0,3)] e S=[(1,0,0,1),(-2,0,0,0),(1,1,-1,1)].
Determinare dimU(k); determinare nel caso k=-1, U(-1) $nn$ U e U(-1) + U.
Allora per la prima parte non ci sono problemi, mi scrivo la matrice riduco a scalini e studio un po' il rango al variare di k e con la formula dim=n-r dove n è il numero di variabili, trovo la dimensione.
E' la seconda parte che non capisco. Se mi avesse chiesto la dim di U(-1) $nn$ U e U(-1) + U, allora con la formula di grassmann non ci sarebbero stati problemi, ma lui vuole proprio l'intersezione e la somma dei due sottospazi.
Come posso procedere?
Grazie mille.
Risposte
Un insieme di generatori per la somma è data da "base per $U(-1)$" $\cup$ "base per $U$", da esso ricavi una base. Fatto ciò con la formula di Grassman puoi sapere quant'è la dimensione dell'intersezione. Poi prova a vedere se riesci a finire da solo 
.
Paola
.Paola
"prime_number":
Un insieme di generatori per la somma è data da "base per $U(-1)$" $\cup$ "base per $U$", da esso ricavi una base. Fatto ciò con la formula di Grassman puoi sapere quant'è la dimensione dell'intersezione. Poi prova a vedere se riesci a finire da solo
Paola
Ciao, perché una volta unita una base di $U(-1)$ e $U$ dovrei trovarmi la base di questa intersezione?
La formula di Grassman dice
Dim(U+W) = dim(U) + dim(W) + dim U$\cup$W, giusto?
Inoltre, mettendo insieme le due basi, trovo l'intersezione o la somma?
Scusa le domande banali
No, attenzione. L'unione di due spazi vettoriali in generale non è uno spazio vettoriale, quindi non ha senso parlare della sua dimensione.
La formula di Grassman dice $dim(U+V)=dimU + dimV - dim(U\cap V)$
Inoltre io ho detto che unendo le basi trovi dei generatori di $U+W$, non una base. Ma da un insieme di generatori è facile arrivare ad una base.
Paola
La formula di Grassman dice $dim(U+V)=dimU + dimV - dim(U\cap V)$
Inoltre io ho detto che unendo le basi trovi dei generatori di $U+W$, non una base. Ma da un insieme di generatori è facile arrivare ad una base.
Paola
"prime_number":
No, attenzione. L'unione di due spazi vettoriali in generale non è uno spazio vettoriale, quindi non ha senso parlare della sua dimensione.
La formula di Grassman dice $dim(U+V)=dimU + dimV - dim(U\cap V)$
Inoltre io ho detto che unendo le basi trovi dei generatori di $U+W$, non una base. Ma da un insieme di generatori è facile arrivare ad una base.
Paola
Si, se nei generatori ci saranno due parametri ad esempio a e b, i vettori della base saranno calcolati ponendo una volta a=0 e b=1 e una volta a=1 e b=0, giusto?
Ma fatto ciò? Cosa devo fare più? Non riesco a capire dove si debba arrivare.
Di cosa stai parlando?! Se hai i generatori $v_1, ... v_k$ e vuoi ricavarne una base, li metti come righe di una matrice, ne calcoli il rango $r\leq k$ e prendi come base gli $r$ vettori che fanno parte del minore non nullo con cui hai calcolato il rango.
Esempio:
$v_1 = (1,1,0), v_2 = (1, 0, 0), v_3= (0,1,0)$
$A=((1,1,0),(1, 0, 0),(0,1,0))$
$det A = 0 \to rank(A) \leq 2$.
Vedo che il minore $|(a_{21}, a_{22}),(a_{31}, a_{32})|=|(1,0),(0,1)|\ne 0 \to rank A =2$
Allora una base è formata da $v_2, v_3$ (perché il minore che ho usato coinvolgeva le righe $2, 3$.
Paola
Esempio:
$v_1 = (1,1,0), v_2 = (1, 0, 0), v_3= (0,1,0)$
$A=((1,1,0),(1, 0, 0),(0,1,0))$
$det A = 0 \to rank(A) \leq 2$.
Vedo che il minore $|(a_{21}, a_{22}),(a_{31}, a_{32})|=|(1,0),(0,1)|\ne 0 \to rank A =2$
Allora una base è formata da $v_2, v_3$ (perché il minore che ho usato coinvolgeva le righe $2, 3$.
Paola
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