Intersezione di sottospazi vettoriali

[matitti]

Ciao a tutti ho un problema con una cosa abbastanza stupida e speravo di ricevere una mano:
Ho due sottospazi vettoriali:
$A=L{(1,0,0,1,1,1,1,-1,1),(0,1,0,0,1,1,-1,1,0),(0,0,1,0,0,1,1,0,0)}$
$B=L{(1,0,0,1,-1,1,1,1,1),(0,1,0,0,1,-1,1,1,0),(0,0,1,0,0,1,1,0,0)}$
voglio calcolare: $L(A)nnL(B)$ e $L(AnnB)$.
So per Grassman che $dimL(A)nnL(B) = 1$. A occhio mi viene da dire che la loro intersezione è il vettore: $(0,0,1,0,0,1,1,0,0)$ perché compare in entrambi i sottospazi, ma se volessi calcolarmelo come dovrei fare?
Mentre non so cosa fare per calcolare $L(AnnB)$.

[Lorin1]

Devi prima studiare chi sono i sottospazi A e B. Cioè scritti in quel modo tu non sai chi è una base, quindi ti conviene prima trovare i vettori della base, poi ti calcoli le equazioni e poi puoi proseguire con tutto il calcolo effettivo.

[matitti]

So che i vettori che generano A e B sono rispettivamente una base per A e per B. Ma detto questo come faccio a calcolare $L(A)nnL(B) , L(AnnB)$ ?? so calcolare la dimensione grazie a Grassman ma non so trovare la loro intersezione...

[Lorin1]

Per quanto riguarda la dimensione non so come tu possa calcolarla visto che ti manca $dim(A+B)$.
Comunque una volta che hai trovato le rispettive basi, per studiare l'intersezione devi ricavarti le equazioni relative ai sottospazi e metterle nel sistema

[matitti]

sisi... non l'avevo scritto ma $dim(A+B)$ l'avevo calcolata prima in quanto l'esercizio completo mi richiedeva anche quello. Comunque a ragionamento e seguendo ciò che mi suggerisci mi verrebbe da porreil sistema $Ax=By$ dove A è la matrice con vettori colonna dati dalla base di A e B dati dalla base di B, mentre x e y sono vettori del tipo: $x=(x_1,x_2,...,x_n) y=(y_1,y_2,...,y_n)$ e quindi risolvo il sistema. Giusto?

[Lorin1]

Conviene che la teoria che dovresti applicare la fai direttamente sull'esercizio.
Facciamo una cosa, inizia a ricavarti la base di entrambi i sottospazi e poi vediamo, perchè altrimenti finisce che parliamo e non ci capiamo.

[matitti]

Allora una base di A è data da: {(1,0,0,1,1,1,1,-1,1),(0,1,0,0,1,1,-1,1,0),(0,0,1,0,0,1,1,0,0)}$
Mentre una base di B è data da:${(1,0,0,1,-1,1,1,1,1),(0,1,0,0,1,-1,1,1,0),(0,0,1,0,0,1,1,0,0)}$
che poi sarebbero i vettori che avevo all'inizio.
Quindi hanno dimensione pari a 3. Quindi, ora cosa faccio?

[Lorin1]

Detto questo, devi ricavarti le equazioni di entrambi i sottospazi e metterle a sistema per capire qual è la loro intersezione. Però controllando come sono fatti i vettori ci possiamo rendere conto (date le 9 componenti) che effettivamente se vuoi fare i calcoli ti ci vuole una vita :S ). Non che l'esercizio devi svolgere solo teoricamente?!

[matitti]

Quindi avrò in tutto 18 equazioni in 6 incognite? Comunque l'esercizio mi richiede di calcolare proprio l'intersezione, non teoricamente... -.-''

[Lorin1]

e allora per quanto riguarda le equazioni ahimè dovrai fare tutti i passaggi!
Però secondo me non escono 18 equazioni, ma ne escono 6 (per ogni sottospazio). Posta i procedimenti...

[matitti]

Giusto. Hai ragione avrò 6 equazioni per sottospazio e però 18 incognite (9 per ogni sottospazio) giusto?

[Lorin1]

Le incognite sono 9, perchè comunque i tuoi vettori sono vettori di dimensione nove. Quindi avremo 12 equazioni in tutto con 9 incognite.

[matitti]

okok hai ragione. Grazie!

[matitti]

scusa ancora, ma con tutto quello che abbiamo detto io riesco a calcolare $L(A)nnL(B)$ giusto?
E invece per quanto riguarda $L(AnnB)$ come faccio?

[Lorin1]

Per il secondo dovresti considerare il sottospazio generato dalla chiusura lineare dei vettori comuni ad A e B

[matitti]

Scusa ma non conosco la chiusura lineare... xD