Intersezione di sottospazi
Ciao ragazzi, avrei bisogno di un aiuto per lo svolgimento di un esercizio riguardante i sottospazi.
Mi interesserebbe se possibile il procedimento passo passo perchè è già 2 volte che capita all'esame.
Nello spazio vettoriale R^4 si considerino i seguenti sottospazi:
A = <(1,1,1,0) , (2,0,1,0)> B = <(1,0,2,1) , (0,0,3,1) , (0,0,0,3)>
Si determini una base per l'intersezione dei 2 sottospazi.
Normalmente avendo le forme implicite la cosa è molto semplificata e abbastanza lineare come svolgimento..ma non avendo le forme implicite come posso determinarle?
Mi interesserebbe se possibile il procedimento passo passo perchè è già 2 volte che capita all'esame.
Nello spazio vettoriale R^4 si considerino i seguenti sottospazi:
A = <(1,1,1,0) , (2,0,1,0)> B = <(1,0,2,1) , (0,0,3,1) , (0,0,0,3)>
Si determini una base per l'intersezione dei 2 sottospazi.
Normalmente avendo le forme implicite la cosa è molto semplificata e abbastanza lineare come svolgimento..ma non avendo le forme implicite come posso determinarle?
Risposte
Beh, il sottospazio generato da $v_1$ = $((1),(1),(1),(0))$ e $v_2$ = $((2),(0),(1),(0))$ e' il sottospazio generato dalle colonne della matrice $A = ((1,2),(1,0),(1,1),(0,0))$. Segue che, se $U := span(v_1,v_2)$, allora $v=((x_1),(x_2),(x_3),(x_4)) in U iff EE ((a_1),(a_2)): A((a_1),(a_2)) = v$. Risolvendo il sistema lineare troverai che deve essere $x_4 = 0$ (già evidente dalla matrice iniziale) e $x_1 - 2x_3 + x_2 = 0$, cioè, se $A' := ((1,-2,1,0),(0,0,0,1))$, allora $v in U iff A'v = 0$. Similmente, se $w_1 = ((1),(0),(2),(1))$, $w_2 = ((0),(0),(3),(1))$, $w_3 = ((0),(0),(0),(3))$ e $B = ((1,0,0),(0,0,0),(2,3,0),(1,1,3))$, risolvere $B((b_1),(b_2)) = v$ ti porterà a calcolare che l'unica condizione è $x_2 = 0$, e quindi, se $B' := (0, 1, 0, 0)$ e $W := span(w_1,w_2,w_3)$ allora $v in W iff B'v = 0$. Ti basterà allora mettere a sistema le richieste (cioè trovare l'intersezione dei nuclei di $B'$ e $A'$), quindi, in questo caso, devono essere contemporaneamente vere $x_4 = 0 ^^ x_1 + x_2 - 2x_3 = 0 ^^ x_2 = 0$, quindi $x_1 - 2x_3 = 0 ^^ x_2 = 0 ^^ x_4 == 0$, o, se preferisci, $v in U nn W iff EE \lambda : \lambda((2),(0),(1),(0)) = v$
Un'alternativa, più veloce, era notare che $v_1 notin W ^^ v_2 in W$, quindi $U nn W = span(v_2)$. Considerazione che vale perché (e solo perché, credo) $dim(span(v_1)) = dim(U) - 1$, cioè l'aggiunta di un solo vettore linearmente indipendente rispeetto a $v_1$ all'intersezione avrebbe portato U ad essere incluso in W.
(Spero di non aver sbagliato niente, in ogni caso ogni correzione è bene accetta, ho un esame a breve).
Un'alternativa, più veloce, era notare che $v_1 notin W ^^ v_2 in W$, quindi $U nn W = span(v_2)$. Considerazione che vale perché (e solo perché, credo) $dim(span(v_1)) = dim(U) - 1$, cioè l'aggiunta di un solo vettore linearmente indipendente rispeetto a $v_1$ all'intersezione avrebbe portato U ad essere incluso in W.
(Spero di non aver sbagliato niente, in ogni caso ogni correzione è bene accetta, ho un esame a breve).
Intanto grazie mille hai spiegato tutto molto bene, ma non mi è chiaro il passaggio per determinare le forme implicite dei sottospazi che poi giustamente hai messo a sistema per determinare quella del sottospazio U∩W
Mi limito a lavorare su $U$, su $W$ il discorso è lo stesso.
Un vettore $v = ((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))$ appartiene a $U$ se e solo se esiste un vettore $a=((a_1),(a_2))$ per cui $Aa = v$. Allora vuol dire che $v in U$ se e solo se esistono due scalari $a_1$ e $a_2$ per cui $a_1 + 2 a_2 = x_1 ^^ a_1 = x_2 ^^ a_1 + a_2 = x_3 ^^ 0 = x_4$. Risolvendo il sistema, ottieni che $a_1 = x_2 ^^ a_2 = x_3 - x_2 ^^ 0 = x_4 ^^ 0 = x_1 + 2x_2 - x_3$.
Segue che puoi sempre trovare degli $a_1$, $a_2$ se e solo se $x_4 = 0$ e $x_1 + 2x_2 - x_3 = 0$.
Era questo che non tornava?
Un vettore $v = ((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))$ appartiene a $U$ se e solo se esiste un vettore $a=((a_1),(a_2))$ per cui $Aa = v$. Allora vuol dire che $v in U$ se e solo se esistono due scalari $a_1$ e $a_2$ per cui $a_1 + 2 a_2 = x_1 ^^ a_1 = x_2 ^^ a_1 + a_2 = x_3 ^^ 0 = x_4$. Risolvendo il sistema, ottieni che $a_1 = x_2 ^^ a_2 = x_3 - x_2 ^^ 0 = x_4 ^^ 0 = x_1 + 2x_2 - x_3$.
Segue che puoi sempre trovare degli $a_1$, $a_2$ se e solo se $x_4 = 0$ e $x_1 + 2x_2 - x_3 = 0$.
Era questo che non tornava?
"Odexios":
Un'alternativa, più veloce, era notare che $v_1 notin W ^^ v_2 in W$, quindi $U nn W = span(v_2)$. Considerazione che vale perché (e solo perché, credo) $dim(span(v_1)) = dim(U) - 1$, cioè l'aggiunta di un solo vettore linearmente indipendente rispeetto a $v_1$ all'intersezione avrebbe portato U ad essere incluso in W.
Non ci avevo pensato a questa analisi preliminare, grande!!
Si si esatto era proprio questo quello che mi interessava capire 
perchè una volta trovate le forme implicite è molto semplice e sono cose che ho più volte fatto.
Quindi le equazioni da prendere una volta srisolto il sistema sono quelle che non includono gli scalari o qui è stato un caso?
perchè una volta trovate le forme implicite è molto semplice e sono cose che ho più volte fatto.Risolvendo il sistema, ottieni che $a_1 = x_2 ^^ a_2 = x_3 - x_2 ^^ 0 = x_4 ^^ 0 = x_1 + 2x_2 - x_3$.
Segue che puoi sempre trovare degli $a_1$, $a_2$ se e solo se $x_4 = 0$ e $x_1 + 2x_2 - x_3 = 0$.
Quindi le equazioni da prendere una volta srisolto il sistema sono quelle che non includono gli scalari o qui è stato un caso?
"Matrix0991":No, non è stato un caso. Gli scalari non ti danno condizioni: quando hai un vettore che appartiene allo spazio, puoi sempre trovare gli scalari per soddisfare il sistema.
Si si esatto era proprio questo quello che mi interessava capire
Risolvendo il sistema, ottieni che $a_1 = x_2 ^^ a_2 = x_3 - x_2 ^^ 0 = x_4 ^^ 0 = x_1 + 2x_2 - x_3$.
Segue che puoi sempre trovare degli $a_1$, $a_2$ se e solo se $x_4 = 0$ e $x_1 + 2x_2 - x_3 = 0$.
Quindi le equazioni da prendere una volta srisolto il sistema sono quelle che non includono gli scalari o qui è stato un caso?
Cioè, la catena di equivalenze che abbiamo trovato ci porta a dire che $v = ((x_1),(x_2),(x_3),(x_4)) in U iff EE a_1,a_2$ che rendono vere quelle equazioni. Hai che $a_1,a_2$ esistono sempre $iff$ il sistema non è impossibile, che è vero $iff x_4 = 0$ e $x_1 + 2x_2 -x_3 = 0$, quindi $v in U iff x_4 = 0 ^^ x_1 + 2x_2 - x_3 = 0$, e quindi hai il sistema implicito.
Operativamente, quando arrivi al punto a cui siamo arrivati prendi le equazioni in cui hai eguagliato una combinazione lineare delle coordinate a 0 e quelle ti danno la tua forma implicita.
Perfetto, mille grazie sei stato chiarissimo!! Mi metto subito a fare un pò di esercizi con questo metodo..pure io ho un esame a breve
Mi metto subito a fare un pò di esercizi con questo metodo..pure io ho un esame a breve
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