Intersezione di due sottospazi scritti in forma diversa

[cowgirl_from_hell]

Ho i seguenti sottospazi:

$W = {(x,y,z,t) in R^4 | x+2y-z+t = 0}$
$V = {(1,0,1,0), (0,1,1,2),(1,2,3,4)}$

Ho scritto il sistema lineare che rappresenta V:
$V = {(x,y,z,t) in R^4 | z-x-y = t-2y = 0}$

e adesso devo trovare la dimensione ed una base di $V nn W$..

mettendo a sistema le equazioni dei due sottospazi ottengo il seguente risultato:
$dim V nn W = 1$
$V nn W = (3/2t,-t,t/2,t)$
$Base = {(3/2, -1, 1/2,1)}$

CREDO che fin qui sia tutto giusto.. correggetemi se sbaglio..

vorrei capire un paio di cose:
1. Come faccio ad ottenere, ad esempio, una base di W (oppure a scriverlo in forma lineare per poi ottenere la base)? Se scrivo la matrice dei coefficienti essa ha rango 1 (dunque la base sarà composta da 1 vettore), ma da lì non riesco a proseguire!
2. Come metodo alternativo per trovare l'intersezione dei due spazi potrei scrivere il vettore generico appartenente a v come sua combinazione lineare..
$v = a(1,0,1,0)+b(0,1,1,2)+c(1,2,3,4) = (a+c,b+2c,a+b+3c,2b+4c)$
.. e poi sostituire i termini del vettore nell'eq. cartesiana dello spazio vett. W, per far sì che quest'ultimo includa v..
$x+2y-z+t = 0 => a+c+2b+4c-a-b-3c+2b+4c = 2c + b = 0 => b = -2c$

in effetti confrontando con la base trovata con l'altro metodo $b = -2c$, però che fine fanno gli altri due parametri?

spero di essere stata chiara!!

[Lorin1]

Ho provato a fare un attimo quel sistema per trovare l'intersezione di $V$ e $W$ e ottengo una cosa leggermente più semplice:

$ { ( x+y-z=0 ),( t=2y ),( x+2y-z+t=0 ):} => { ( t=2y ),( x=z-y ),( y=2t ):} => { ( t=0 ),( y=0 ),( x=z ):} $

quindi l'insieme delle soluzioni del sistema è del tipo ${(x,0,x,0) : x in RR}$, da cui ricaviamo dimensione e base:

$dimV nn W=1 , B_(V nn W)=[(1,0,1,0)]$

Poi per quanto riguarda il trovare una base di W, basta che prendi l'equazione che rappresenta il sottospazio e ti fissi un'incognita, ad esempio la x e porti tutto il resto a secondo membro, come fai di solito quando vuoi risolvere una semplice equazione:

$x+2y-z+t=0 => x=z-2y-t$

quindi l'insieme delle soluzioni del sistema (fatto da una sola equazione sarà): ${(z-2y-t,y,z,t) : y,z,t in RR}$

hai tre parametri liberi, ai quali basta assegnare i valori canonici, uno alla volta, per ottenere una base del tuo sottospazio.