Intersezione di due rette
Ciao a tutti, potreste aiutarmi con questo esercizio? Ho due rette:
$ r:{ ( x=1+t ),( y=-1+2t ),( z=5+(a+3)t ):} s:{ ( x=-1+2t^{\prime}),( y=-5+4t^{\prime} ),( z=7-2t^{\prime} ):} $
e, quando $ a=-4 $, devo dare descrizione parametrica del luogo dei punti descritto da $ r_(-4) \cap s $
Come devo procedere? Io metterei a sistema le equazioni delle due rette, ma come posso farlo? Devo fare la sottrazione tra le coordinate? O devo eguagliarle?
$ r:{ ( x=1+t ),( y=-1+2t ),( z=5+(a+3)t ):} s:{ ( x=-1+2t^{\prime}),( y=-5+4t^{\prime} ),( z=7-2t^{\prime} ):} $
e, quando $ a=-4 $, devo dare descrizione parametrica del luogo dei punti descritto da $ r_(-4) \cap s $
Come devo procedere? Io metterei a sistema le equazioni delle due rette, ma come posso farlo? Devo fare la sottrazione tra le coordinate? O devo eguagliarle?
Risposte
In realtà, per a=-4, le due rette coincidono. Per verificare questo basta fare nelle equazioni di r
la sotituzione lineare $t=2t'-2$. In tal modo si vede la coincidenza tra r ed s. Si conclude che
il luogo richiesto, per quel valore di a, è una qualunque delle due rette assegnate.
la sotituzione lineare $t=2t'-2$. In tal modo si vede la coincidenza tra r ed s. Si conclude che
il luogo richiesto, per quel valore di a, è una qualunque delle due rette assegnate.
Va bene, grazie mille, però io come faccio a trovare quel valore di $ t $ che hai trovato? Lo hai visto ad occhio?
Dando qualche valore alla variabile t mi sono accorto che dando valori sia pure diversi alla t' si ottenevano
i medesimi punti per entrambe le rette e queste mi ha fatto sospettare che le rette fossero identiche
(e secondo me non è stata una scelta elegantissima... da parte dell'esercitatore ).
Dopo di che ho pensato di ragionare in generale eguagliando direttamente le coordinate .
Eguagliando le coordinate x si ha appunto : $t=2t'-2$.
Straordinariamente ( dico straordinariamente perchè non ci speravo neanche un po'
) il medesimo
risultato si ottiene eguagliando le y e le z. Come puoi verificare facilmente.
i medesimi punti per entrambe le rette e queste mi ha fatto sospettare che le rette fossero identiche
(e secondo me non è stata una scelta elegantissima... da parte dell'esercitatore ).
Dopo di che ho pensato di ragionare in generale eguagliando direttamente le coordinate .
Eguagliando le coordinate x si ha appunto : $t=2t'-2$.
Straordinariamente ( dico straordinariamente perchè non ci speravo neanche un po'
) il medesimo risultato si ottiene eguagliando le y e le z. Come puoi verificare facilmente.
Fantastico, grazie mille!
Un'ultima cosa: mi sapresti dire qual è il vettore direzionale di tale retta?
$ r:{ ( x=(t-1)/2 ),( y=(t-1)/2 ),( z=t ):} $
Mi sa che è banale, ma non ci riesco!
Un'ultima cosa: mi sapresti dire qual è il vettore direzionale di tale retta?
$ r:{ ( x=(t-1)/2 ),( y=(t-1)/2 ),( z=t ):} $
Mi sa che è banale, ma non ci riesco!
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