Intersezione di due piani.
Ciao a tutti,
non riesco a determinare l'intersezione di due piani espressi con equazioni parametriche. In realtà ci riesco, ma solo se esprimo i due piani in equazioni cartesiane, li metto in un sistema, riduco la matrice associata e poi mi cerco il sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato, espresso in equazioni cartesiane. Vorrei una mano a capire come sbloccarmi per procedere lavorando direttamente sulle equazioni parametriche date.
I due piani sono
$\pi_1 = ((2), (-2), (3)) + span((1,0),(-1,-1),(1,1))$
$\pi_2 = ((-1),(1),(1)) + span((2,0),(-1,0),(0,-1))$
Si vede subito che i due piani non sono paralleli quindi si intersecano formando una retta che chiamiamo R, i cui punti devono potersi esprimere come combinazione lineare di entrambi i sistemi. Chiamando $a_{\pi_1}$ e $a_{\pi_2}$ i punti attraverso cui passano i due piani e ${s_1, s_2}$ e ${t_1, t_2}$ le basi delle rispettive giaciture, allora un qualsiasi punto $r \in R$ può essere espresso in formule:
$r = a + \alpha_1 s_1 + \alpha_2 s_2 = b + \beta_2 t_1 + \beta_2 t_2$
da cui
$\alpha_1 s_1 + \alpha_2 s_2 - \beta_2 t_1 - \beta_2 t_2 = (b -a)$
Da qui, però, iniziano i dubbi perché così come ho impostato il problema, una volta trovati i coefficienti $beta$ in teoria dovrei aver trovato i soli coefficienti delle giaciutre... non riuscendo ad essere sicuro della teoria non riesco, ovviamente, ad andare avanti coi calcoli.
Ho provato comunque ad andare avanti, scrivendo come primo passo la matrice di quest'ultimo sistema:
$R: ((1,0,-2,0,-3),(-1,-1,1,0,3),(1,1,0,1,-2)) = ((1,0,-2,0,-3),(0,-1,-1,0,0),(0,0,1,1,-1))
Dando uno sguardo all'ultima riga della matrice mi verrebbe da pensare che il sistema che ho impostato per giungere a questa soluzione si traduca in
$r: t_1 + t_2 + 1 = 0$
che non so assolutamente come interpretare... insomma ho un po' di confusione! Sapreste darmi una mano?
Grazie!
non riesco a determinare l'intersezione di due piani espressi con equazioni parametriche. In realtà ci riesco, ma solo se esprimo i due piani in equazioni cartesiane, li metto in un sistema, riduco la matrice associata e poi mi cerco il sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato, espresso in equazioni cartesiane. Vorrei una mano a capire come sbloccarmi per procedere lavorando direttamente sulle equazioni parametriche date.
I due piani sono
$\pi_1 = ((2), (-2), (3)) + span((1,0),(-1,-1),(1,1))$
$\pi_2 = ((-1),(1),(1)) + span((2,0),(-1,0),(0,-1))$
Si vede subito che i due piani non sono paralleli quindi si intersecano formando una retta che chiamiamo R, i cui punti devono potersi esprimere come combinazione lineare di entrambi i sistemi. Chiamando $a_{\pi_1}$ e $a_{\pi_2}$ i punti attraverso cui passano i due piani e ${s_1, s_2}$ e ${t_1, t_2}$ le basi delle rispettive giaciture, allora un qualsiasi punto $r \in R$ può essere espresso in formule:
$r = a + \alpha_1 s_1 + \alpha_2 s_2 = b + \beta_2 t_1 + \beta_2 t_2$
da cui
$\alpha_1 s_1 + \alpha_2 s_2 - \beta_2 t_1 - \beta_2 t_2 = (b -a)$
Da qui, però, iniziano i dubbi perché così come ho impostato il problema, una volta trovati i coefficienti $beta$ in teoria dovrei aver trovato i soli coefficienti delle giaciutre... non riuscendo ad essere sicuro della teoria non riesco, ovviamente, ad andare avanti coi calcoli.
Ho provato comunque ad andare avanti, scrivendo come primo passo la matrice di quest'ultimo sistema:
$R: ((1,0,-2,0,-3),(-1,-1,1,0,3),(1,1,0,1,-2)) = ((1,0,-2,0,-3),(0,-1,-1,0,0),(0,0,1,1,-1))
Dando uno sguardo all'ultima riga della matrice mi verrebbe da pensare che il sistema che ho impostato per giungere a questa soluzione si traduca in
$r: t_1 + t_2 + 1 = 0$
che non so assolutamente come interpretare... insomma ho un po' di confusione! Sapreste darmi una mano?
Grazie!
Risposte
I due piani sono
$\pi_1 : ((x),(y),(z)) = ((2),(-2),(3)) + ((1),(-1),(1)) s_1 + ((0),(-1),(1)) s_2$
$\pi_2 : ((x),(y),(z)) = ((-1),(1),(1)) + ((2),(-1),(0)) t_1 ; ((0),(0),(-1)) t_2$
se cerchi l'intersezione dei due piani devi imporre:
${(2+s_1=-1+2t_1),(-2-s_1-s_2=1-t_1),(3+s_1+s_2=1-t_2):}$
a questo punto risolvi il sistema rispetto alle variabili $s_1$, $s_2$, $t_1$, $t_2$ .
$\pi_1 : ((x),(y),(z)) = ((2),(-2),(3)) + ((1),(-1),(1)) s_1 + ((0),(-1),(1)) s_2$
$\pi_2 : ((x),(y),(z)) = ((-1),(1),(1)) + ((2),(-1),(0)) t_1 ; ((0),(0),(-1)) t_2$
se cerchi l'intersezione dei due piani devi imporre:
${(2+s_1=-1+2t_1),(-2-s_1-s_2=1-t_1),(3+s_1+s_2=1-t_2):}$
a questo punto risolvi il sistema rispetto alle variabili $s_1$, $s_2$, $t_1$, $t_2$ .
"franced":
se cerchi l'intersezione dei due piani devi imporre:
${(2+s_1=-1+2t_1),(-2-s_1-s_2=1-t_1),(3+s_1+s_2=1-t_2):}$
E fino a qui ok, questo è praticamente il sistema che ho imposto anche nella domanda. Se però lo imposto secondo il tuo suggerimento ottengo la matrice
$R=((1,0,-2,0,3),(-1,-1,1,0,-3),(1,1,0,1,2)) = ((1,0,-2,0,3),(0,-1,-1,0,0),(0,0,1,1,-1))$
a questo punto risolvi il sistema rispetto alle variabili $s_1$, $s_2$, $t_1$, $t_2$ .
Qui ho ancora un po' di dubbi, perché risolvendo il sistema e sapendo che la struttura di $R$ è della forma $b+span(v)$ ottengo che la soluzione particolare è
$b=((-1),(-1),(1),(0))$ cioè $b = -s_1-s_2+t_1$
e che la soluzione del sistema omogeneo associato è lo span di
$v = ((-2),(1),(-1),(1))$ cioè $v=-2s_1+s_2-t_1+t_2$
Svolgendo le somme tra i vettori ottengo che la retta intersezione dei due piani avrebbe equazione parametrica
$R=((1),(1),(-2)) + span ((-4),(2),(-2))$
mentre quella giusta (che è anche quella che ottengo passando immediatamente dalle parametriche dei piani alle loro cartesiane) è
$R=((-3),(2),(-1)) + span ((-4),(2),(-2))$
Ottengo una retta parallela a quella giusta (ho verificato).
"franced":
...
se cerchi l'intersezione dei due piani devi imporre:
${(2+s_1=-1+2t_1),(-2-s_1-s_2=1-t_1),(3+s_1+s_2=1-t_2):}$
a questo punto risolvi il sistema rispetto alle variabili $s_1$, $s_2$, $t_1$, $t_2$ .
Con i calcoli si trova:
$((s_1),(s_2),(t_1),(t_2)) = ((-1),(-1),(1),(0)) + k ((-2),(1),(-1),(1))$
se sostituisci $s_1 = -1 - 2k$ e $s_2 = -1 + k$ nell'equazione di $pi_1$
ottieni la parametrizzazione della retta intersezione:
$((x),(y),(z)) = ((1 - 2k),(k),(1-k))$
ovvero
$((x),(y),(z)) = ((1),(0),(1)) + k ((-2),(1),(-1))$
Per trovare l'equazione della retta intersezione è possibile anche procedere
determinando le equazioni cartesiane dei due piani:
$pi_1 : y + z -1 = 0$
$p1_2 : x + 2y - 1 = 0$ .
La retta intersezione ha equazione
${(y + z -1 = 0),(x + 2y - 1 = 0):}$ .
determinando le equazioni cartesiane dei due piani:
$pi_1 : y + z -1 = 0$
$p1_2 : x + 2y - 1 = 0$ .
La retta intersezione ha equazione
${(y + z -1 = 0),(x + 2y - 1 = 0):}$ .
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