Intersezione di 2 sottospazi

[Zui1]

Mi viene richiesto di determinare una base di U∩W (entrambi sottospazi di R4) con W generato da (1,1,1,1),(1,2,1,2),(0,1,0,0) e U {x,y,z,t} / -x-y-z+t=0

ora la dimensione di U è 3, è generato dai vettori u1=(-1,1,0,0), u2=(-1,0,1,0), u3=(1,0,0,1)

ora, per trovare l'intersezione, vedo per quali r s t r*u1 + s*u2 +t*u3 sta in W, ovvero quando la matrice le cui righe sono w1 w2 w3 r*u1 + s*u2 +t*u3 ha rango 3 (o determinante nullo), e ottengo r=-2, s=1, t=0 oppure r=1, s=0, t=1 quindi l'intersezione sarà

-2*(1,1,1,1)+1*(1,2,1,2)+0*(0,1,0,0) e 1*(1,1,1,1)+0*(1,2,1,2)+1*(0,1,0,0) ovvero <(1,-2,1,0),(-2,1,1,0) >

Ma la soluzione da come risultato <(1,-1,1,1),(1,0,1,2) > che è palesemente diverso, e per trovarlo dice di vedere quando una generica combinazione di vettori di W r*v1 + s*v2 +t*v3 sta in U, perchè questo metodo è corretto (quali comb di vettori di W stanno in U, e il mio errato, ovvero guardare uali comb di vettori di U stanno in W)

Grazie.

[Zui1]

Il mio libro, apparentemente utilizza il secondo procedimento da lei illustrato, anche se in maniera estremamente meno chiara rispetto a lei.
Mi sarebbe molto utile sapere perché il mio procedimento è errato.

Grazie.

[Zui1]

grazie comunque, do sempre del Lei a chi ne sa (molto) più di me!