Interpretazione geometrica dell'indipendenza lineare

[Mr.Mazzarr]

Come da titolo, qual è l'interpretazione geometrica dell'indipendenza lineare?

So qual è l'interpretazione algebrica, ovvero data una n-pla di vettori $X$ si definire linearmente indipendente se la combinazione lineare che da il vettore nullo è con scalari tutti uguali a 0.

[walter891]

Forse intendi questo: un insieme di $n$ vettori indipendenti generano uno spazio vettoriale di dimensione $n$, mentre se ci sono dei vettori che sono combinazione di altri lo spazio generato risulta più piccolo

[Mr.Mazzarr]

Ti riferisci all'interpretazione geometrica?

[4mrkv]

Dati \(v_{1},v_{2}\in \mathbb{R}^{2}\) e \(0\neq c_{1},c_{2}\in \mathbb{R}\) se vale \(c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}=0\) con coefficienti non tutti nulli allora abbiamo due vettori linearmente dipendenti. Supponendo che \(c_{1}\neq 0\) (altrimenti prendi \(c_{2}\)) allora ottieni \(v_{1}=-c_{2}c_{1}^{-1}v_{2}\) (ho moltiplicato per \(c_{1}^{-1}\) da ambo le parti, lo zero non ha inverso quindi non avrei potuto farlo).

Vale a dire che se li disegni nel piano ottieni che i due hanno la stessa direzione e differiscono solamente per la norma, da cui linearmente dipendenti. Quando hai indipendenza non puoi dividere né per \(c_{1}\) e né per \(c_{2}\) perché sono entrambi nulli. I vettori quindi hanno direzioni diverse perché non possono essere scritti nella forma precedente. Fai tu stesso un esempio numerico.

[Mr.Mazzarr]

In pratica essendo linearmente dipendenti, uno è anche combinazione lineare e perciò si può definire come un vettore '' proporzionale '' ad un altro vettore. Quindi ha la stessa direzione, norma e verso dipendenti dallo scalare '' tramite ''.