Interno, esterno, frontiera
Ciao, amici! Dato un sottoinsieme $D \sub RR^n$ il mio libro (di analisi, ma mi sembrava più opportuno postare qui) dà le seguenti definizioni:
-punti interni di D: quelli che appartengono a D e sono il centro di almeno una palla aperta $B_r$ interamente contenuta in D;
-punti esterni di D: quelli che non appartengono a D e sono il centro di almeno una palla aperta $B_r$ interamente disgiunta da D;
-punti di frontiera di D: quelli di cui ogni intorno contiene sia punti di D sia punti che non appartengono a D;
inoltre
-un sottoinsieme $A \sub RR^n$ è aperto se e solo se ogni suo punto è interno;
-un sottoinsieme $A \sub RR^n$ è chiuso se e solo se contiene ogni suo punto di frontiera.
Volevo chiedere se queste definizioni si generalizzino a qualunque spazio metrico di tipo (X,d)...
Grazie a tutti!!!
-punti interni di D: quelli che appartengono a D e sono il centro di almeno una palla aperta $B_r$ interamente contenuta in D;
-punti esterni di D: quelli che non appartengono a D e sono il centro di almeno una palla aperta $B_r$ interamente disgiunta da D;
-punti di frontiera di D: quelli di cui ogni intorno contiene sia punti di D sia punti che non appartengono a D;
inoltre
-un sottoinsieme $A \sub RR^n$ è aperto se e solo se ogni suo punto è interno;
-un sottoinsieme $A \sub RR^n$ è chiuso se e solo se contiene ogni suo punto di frontiera.
Volevo chiedere se queste definizioni si generalizzino a qualunque spazio metrico di tipo (X,d)...
Grazie a tutti!!!
Risposte
Questi concetti si generalizzano a qualsiasi spazio topologico (anche non metrizzabile)
Grazie di cuore, Perplesso! Lo annoterò a margine del libro...
Ah ah, l'Hypno-Monti...
Ah ah, l'Hypno-Monti...
"DavideGenova":
un sottoinsieme $A \sub RR^n$ è aperto se e solo se contiene ogni suo punto di frontiera.
Senti ma sei sicuro di questo fatto perchè io ricordavo che in questo caso l'insieme è chiuso (ma potrei benissimo sbagliare io eh...)
Azz... è un lapsus: "un sottoinsieme $A \subset RR$ è chiuso se e solo se contiene ogni suo punto di frontiera"! Grazie per avermelo fatto notare: l'ho corretto nel post originale.
Scusate ma questa discussione mi ha fatto sorgere un dubbio, probabilmente legato a un mio difetto di memoria: un insieme non dovrebbe essere chiuso quando contiene tutti i suoi punti di accumulazione?
A me non pare: per esempio $ZZ \in RR$, mi sembra chiuso perché is suoi punti di frontiera sono tutti e soli i suoi elementi (ogni intorno di ogni $k \in ZZ$ contiene infiniti reali), ma direi che non abbia punti di accumulazione, infatti non si può individuare alcun suo elemento con un intorno arbitrariamente piccolo contenente infiniti suoi elementi.
Scusa ma non sono d'accordo. Prendi per esempio il numero $0$: in qualsiasi intorno di $0$ è contenuto almeno un numero razionale diverso da $0$, e lo stesso vale per qualsiasi altro razionale. La chiusura o meno di [tex]\mathbb{Z}[/tex] (e di [tex]\mathbb{R}[/tex]) per quel che ricordo riguarda l'infinito, che è punto di accumulazione ma non di frontiera.
"Palliit":
Scusate ma questa discussione mi ha fatto sorgere un dubbio, probabilmente legato a un mio difetto di memoria: un insieme non dovrebbe essere chiuso quando contiene tutti i suoi punti di accumulazione?
Si è vero. Però se $x$ è un punto della frontiera di $A$ allora è anche un punto di accumulazione. Perchè? Perchè per definizione ogni intorno di $x$ contiene qualche punto di $A$. Quindi, secondo me, quadra tutto.
Il mio dubbio è questo.
Un punto di frontiera deve avere qualunque intorno contenente punti dell'insieme e punti non appartenenti all'insieme. Un punto di accumulazione deve avere qualunque intorno contenente almeno un punto facente parte dell'insieme, escluso il punto stesso. Infinito è un punto di accumulazione di [tex]\mathbb{R}[/tex] perchè in ogni intorno di infinito c'è almeno un numero reale, ma non è un punto di frontiera perchè in nessun intorno di infinito c'è qualcosa che non sia un numero reale.
Se no "punto di frontiera" e "punto di accumulazione" sarebbero due concetti coincidenti e non ci sarebbe motivo di indicarli diversamente.
Sembra una questione formale, ma a seconda della definizione che si dà per "chiusura di un insieme" l'insieme dei reali può essere reso un insieme chiuso oppure no.
Un punto di frontiera deve avere qualunque intorno contenente punti dell'insieme e punti non appartenenti all'insieme. Un punto di accumulazione deve avere qualunque intorno contenente almeno un punto facente parte dell'insieme, escluso il punto stesso. Infinito è un punto di accumulazione di [tex]\mathbb{R}[/tex] perchè in ogni intorno di infinito c'è almeno un numero reale, ma non è un punto di frontiera perchè in nessun intorno di infinito c'è qualcosa che non sia un numero reale.
Se no "punto di frontiera" e "punto di accumulazione" sarebbero due concetti coincidenti e non ci sarebbe motivo di indicarli diversamente.
Sembra una questione formale, ma a seconda della definizione che si dà per "chiusura di un insieme" l'insieme dei reali può essere reso un insieme chiuso oppure no.
"Palliit":
Scusa ma non sono d'accordo. Prendi per esempio il numero $0$: in qualsiasi intorno di $0$ è contenuto almeno un numero razionale diverso da $0$, e lo stesso vale per qualsiasi altro razionale.
Sì, risulta anche anche a me. $QQ$ non è né aperto né chiuso perché ogni punto di $RR$ è sia di frontiera sia di accumulazione per $QQ$. Almeno, così trovo sul mio libro (di "analisi 2").
Per $ZZ \in RR$, o $NN \in RR$, invece, mi pare che, dato che mi risulta che un punto sia di accumulazione se e solo se ogni intorno con centro in esso contiene almeno un elemento di di diverso da quel punto, prendendo ogni $k \in ZZ$, osservando gli intervalli $(k-1,k+1) sub RR$ si possa dire che non contengono alcun elemento di $ZZ$ diverso da $k$, no? Spero di non dire stupidate... Non prendere per oro colato quel che dico, perché ho studiato lettere e mi occupo di queste cose per diletto.
Scusa, hai ragione, ho stupidamente inteso che parlassi di $\mathbb{Q}$ mentre stavi chiaramente indicando come esempio $\mathbb{Z}$, devo essere rimbambito. E' chiaro che $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ sono costituiti da punti isolati, ma il problema della definizione mi rimane.
"perplesso":
se $x$ è un punto della frontiera di $A$ allora è anche un punto di accumulazione.
Non se $x$ è un punto isolato: è di frontiera ma non di accumulazione.
Hai perfettamente ragione. Sarebbe corretto invece se affermassi che un punto isolato è un punto di aderenza ma non di accumulazione? 
Direi di sì: qualunque intorno di un punto isolato $X$ di $A$ contiene almeno il punto stesso quindi è di aderenza, non di accumulazione perchè per un intorno sufficientemente piccolo $X$ è l'unico elemento di $A$ contenuto nell'intorno.
Credo che il mio dubbio si possa chiarire in questo modo: la frontiera è costituita da tutti i punti di aderenza (cioè punti isolati, che già appartengono all'insieme, e punti di accumulazione, che non necessariamente vi appartengono): dire che un insieme è chiuso perchè contiene la frontiera oppure i suoi punti di accumulazione è sostanzialmente equivalente, ma la prima accezione è vagamente ridondante perchè nella frontiera sono inclusi anche punti (quelli isolati) che necessariamente fanno parte dell'insieme. Detto diversamente, gli unici punti di frontiera che possono non essere contenuti sono quelli di accumulazione, quindi è l'inclusione di questi che è significativa per stabilire se un insieme è chiuso o no.
Almeno credo, mi piacerebbe avere conferme. Ciao
Credo che il mio dubbio si possa chiarire in questo modo: la frontiera è costituita da tutti i punti di aderenza (cioè punti isolati, che già appartengono all'insieme, e punti di accumulazione, che non necessariamente vi appartengono): dire che un insieme è chiuso perchè contiene la frontiera oppure i suoi punti di accumulazione è sostanzialmente equivalente, ma la prima accezione è vagamente ridondante perchè nella frontiera sono inclusi anche punti (quelli isolati) che necessariamente fanno parte dell'insieme. Detto diversamente, gli unici punti di frontiera che possono non essere contenuti sono quelli di accumulazione, quindi è l'inclusione di questi che è significativa per stabilire se un insieme è chiuso o no.
Almeno credo, mi piacerebbe avere conferme. Ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo