Insiemi compatti

[prapa1]

ho questi insiemi e mi chiede di vedere se sono compatti, ma non so veramente come partire

1) {(x,y) € $R^2$ : x$>=$ 0, y$>=$ 0 , x+y $<=$0 }
2 [0,1]x [0,1]

mi fareste vedere come poter impostare l'esercizio (per esempio, nel 2, e correggetemi se mi sbaglio, mi sembra ad occhio che sia compatto, il tutto è aper dimostrare che prodotto cartesiano di compatti genera compatti)

grazie

[alberto861]

il primo insieme è il triangolo pieno con vertici $(0,1),(0,0),(1,0)$ (basta tracciare le rette e tenere conto delle disuguaglianze) ed è compatto perchè: è limitato in quanto per esempio è contenuto nel disco centrato nell'origine e di raggio $1000000$ ; è chiuso perchè $\forall (x,y)$ che non sta nel triangolo trovi un dischetto aperto che lo separa dal triangolo tutto contenuto nel complemento del triangolo altrimenti puoi prendere spunto da quanto dico per il secondo;
il secondo è una banalizzazione del teorema di Tychonoff (non ricordo se è scritto così) il quale afferma che il prodotto di una qualsiasi famiglia di compatti (di cardinalità qualsiasi!!!) è compatto per una certa topologia che nel caso in questione è equivalente a quella di $R^2$..oppure più semplicemente prendi una successione $z_n$ in $[0,1]x[0,1]$ questa si scriverà come $z_n=(x_n,y_n)$ ora $x_n$ e $y_n$ sono successioni limitate in $[0,1]$ che è compatto. Per Bolzano Weierstrass hai $x_k$ e $y_k$ estratte convergenti allora verifica che $z_k=(x_k,y_k)$ è un'estratta convergente per $z_n$ rispetto alla topologia del prodotto.

[Gatto891]

@Alberto: Il primo insieme non dovrebbe essere unicamente la coppia $(0,0)$?

[alberto861]

si hai ragione è una bisettrice... quella retta non so perchè l'ho pensata traslata di uno verso l'alto..va be così il primo punto è fatto immediatamente