Insiemi chiusi, aperti e chiusura
ragazzi, sapreste darmi una definizione ed un esempio di insieme aperto, chiuso e di chiusura?
ho letto in giro ma non ho capito granchè.
vi ringrazio, alex
ho letto in giro ma non ho capito granchè.
vi ringrazio, alex
Risposte
A seconda dell'ambiente in cui stai lavorando può esserti comoda una definizione oppure un'altra:
dato $(X,d)$ uno spazio metrico, $A sub X$ si dice chiuso $<=>$ $AA {x_n}_(n in NN) sub A, x_n to barx (in X) : barx in A$(ogni successione di elementi di A convergente, converge a un elemento di A.)
Dato $(X,tau)$ spazio topologico, $A sub X$ si dice chiuso $<=> X-A in tau$ (è chiuso se il suo complementare è aperto)
Ovviamente uno spazio metrico è ovviamente topologico (con la topologia indotta dalla metrica): si prova che in questo caso le due definizioni sono equivalenti.
Analogamente esistono definizioni simili per tutti gli altri concetti...
Consideriamo $(RR,d)$ l'insieme dei reali munito della topologia euclidea.
E' uno spazio metrico, quindi è "più intuitivo" servirci della caratterizzazione sequenziale (cioè la prima, che usa le successioni).
Ad esempio fissato $barx in RR$: ${barx}$ è chiuso, visto che comunque presa una successione di elementi di questo insieme convergente (che poi la scelta è obbligata, dobbiamo prendere la successione di costante valore $barx$) converge sicuramente a $barx$ che appartiene a ${barx}$.
Vabbè, era un esempio banale.
Presi $x_1,...,x_n in RR$ considero ${x_1,...,x_n}$.
Una successione convergente di elementi di questo insieme dovrà essere per forza definitivamente costante, e uguale a un elemento dell'insieme. Quindi la definizione è ancora verificata, quindi è ancora chiuso.
dati $a,b in RR$: $[a,b]$ è chiuso (l'ottieni usando il teorema di prolungamento delle disuguaglianze)
ma $[a,b[$ non lo è: $x_n=b-1/n$ è una successione di suoi elementi, converge a $b in RR$, ma $b notin [a,b[$
dato $(X,d)$ uno spazio metrico, $A sub X$ si dice chiuso $<=>$ $AA {x_n}_(n in NN) sub A, x_n to barx (in X) : barx in A$(ogni successione di elementi di A convergente, converge a un elemento di A.)
Dato $(X,tau)$ spazio topologico, $A sub X$ si dice chiuso $<=> X-A in tau$ (è chiuso se il suo complementare è aperto)
Ovviamente uno spazio metrico è ovviamente topologico (con la topologia indotta dalla metrica): si prova che in questo caso le due definizioni sono equivalenti.
Analogamente esistono definizioni simili per tutti gli altri concetti...
Consideriamo $(RR,d)$ l'insieme dei reali munito della topologia euclidea.
E' uno spazio metrico, quindi è "più intuitivo" servirci della caratterizzazione sequenziale (cioè la prima, che usa le successioni).
Ad esempio fissato $barx in RR$: ${barx}$ è chiuso, visto che comunque presa una successione di elementi di questo insieme convergente (che poi la scelta è obbligata, dobbiamo prendere la successione di costante valore $barx$) converge sicuramente a $barx$ che appartiene a ${barx}$.
Vabbè, era un esempio banale.
Presi $x_1,...,x_n in RR$ considero ${x_1,...,x_n}$.
Una successione convergente di elementi di questo insieme dovrà essere per forza definitivamente costante, e uguale a un elemento dell'insieme. Quindi la definizione è ancora verificata, quindi è ancora chiuso.
dati $a,b in RR$: $[a,b]$ è chiuso (l'ottieni usando il teorema di prolungamento delle disuguaglianze)
ma $[a,b[$ non lo è: $x_n=b-1/n$ è una successione di suoi elementi, converge a $b in RR$, ma $b notin [a,b[$
ti ringrazio. andando avanti sempre in unos pazio topologico stavo studiando la proprietà di modularità.
se sono dati due insiemi A e B limitati e misurabili, come faccio a dimostrare che mis(A)+mis(B)=mis(AUB)+mis(AintersercatoB)?
se sono dati due insiemi A e B limitati e misurabili, come faccio a dimostrare che mis(A)+mis(B)=mis(AUB)+mis(AintersercatoB)?
Devi sfruttare la definizione che hai di misurablità.
"Gaal Dornick":
Devi sfruttare la definizione che hai di misurablità.
potresti darmi un esempio? può risultarmi nulla l'intersezione?
Certo. (può risultare nulla l'intersezione?)
Ti posso suggerire FUSCO MARCELLINI SBORDONE Analisi 2 capitolo 9 (in particolare ti serve la proposizione alla fine di pagina 457), io ho studiato quegli argomenti da lì.
Secondo me non ha senso che io ti rispieghi tutto questo argomento (peraltro particolarmente pesante) qui sul forum..se sta già fatto.
Ti posso suggerire FUSCO MARCELLINI SBORDONE Analisi 2 capitolo 9 (in particolare ti serve la proposizione alla fine di pagina 457), io ho studiato quegli argomenti da lì.
Secondo me non ha senso che io ti rispieghi tutto questo argomento (peraltro particolarmente pesante) qui sul forum..se sta già fatto.
"Gaal Dornick":
Certo. (può risultare nulla l'intersezione?)
Ti posso suggerire FUSCO MARCELLINI SBORDONE Analisi 2 capitolo 9 (in particolare ti serve la proposizione alla fine di pagina 457), io ho studiato quegli argomenti da lì.
Secondo me non ha senso che io ti rispieghi tutto questo argomento (peraltro particolarmente pesante) qui sul forum..se sta già fatto.
ti ringrazio Gaal Dornick. Andrò a controllare molto presto;)
alex
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