Insiemi aperti topologia
Buongiorno,
ho appena iniziato lo studio di topologia e gia' incontro i primi problemi
Credo che sia piu' che altro un problema di capire bene la definizione di insieme aperto.
Io so che, sia $(X,d)$ uno spazio metrico e $A\subset X$, A e' aperto nel mio spazio metrico se e solo se $\forall x\in A \exists \epsilon>0$ tale che $B_(x,\epsilon)\subset A$
Ora devo dire se i seguenti insiemi sono aperti o meno:
${(x,y)\in RR^2 | x^2+y^2<1} U {(1,0)}$
${(x,y)\in RR^2 | x^2+y^2<=1}$
${(x,y)\in RR^2 | x+y<0}$
${(x,y)\in RR^2 | x+y=0}$
Arrivata ad un certo punto non so piu' come procedere, prendiamo ad esempio il primo:
Seguendo la definizione io scrivo, $\forall (x,y)\in A$ l'intorno di centro $(x,y)$ e raggio $\epsilon$ quindi $B_((x,y),\epsilon)={(a,b)|$d((x,y) , (a,b))$<\epsilon}$
La metrica deve essere quella euclidea e quindi d((x,y) ,(a,b))$<\epsilon$ diventa $|x-a|+|y-b|<\epsilon$
A questo punto non so piu' che fare
ho appena iniziato lo studio di topologia e gia' incontro i primi problemi
Credo che sia piu' che altro un problema di capire bene la definizione di insieme aperto.
Io so che, sia $(X,d)$ uno spazio metrico e $A\subset X$, A e' aperto nel mio spazio metrico se e solo se $\forall x\in A \exists \epsilon>0$ tale che $B_(x,\epsilon)\subset A$
Ora devo dire se i seguenti insiemi sono aperti o meno:
${(x,y)\in RR^2 | x^2+y^2<1} U {(1,0)}$
${(x,y)\in RR^2 | x^2+y^2<=1}$
${(x,y)\in RR^2 | x+y<0}$
${(x,y)\in RR^2 | x+y=0}$
Arrivata ad un certo punto non so piu' come procedere, prendiamo ad esempio il primo:
Seguendo la definizione io scrivo, $\forall (x,y)\in A$ l'intorno di centro $(x,y)$ e raggio $\epsilon$ quindi $B_((x,y),\epsilon)={(a,b)|$d((x,y) , (a,b))$<\epsilon}$
La metrica deve essere quella euclidea e quindi d((x,y) ,(a,b))$<\epsilon$ diventa $|x-a|+|y-b|<\epsilon$
A questo punto non so piu' che fare
Risposte
up
Il primo non è aperto; se prendi (0,1) quale palla aperta tutta contenuta nell'insieme trovi?
Il secondo è chiuso; il terzo aperto, il quarto chiuso.
Come regola generale, i sottoinsiemi di uno spazio metrico che sono definiti da disuguaglianze larghe mediante un sacco di funzioni sono chiusi, quelli definiti da disuguaglianze strette sono aperti. La ragione è che la funzione $d : X\times X\to RR$ che dà la metrica è continua, e (ad esempio) il secondo insieme è \(d^\leftarrow(-\infty,1]\), e il terzo è \(f^\leftarrow(-\infty,0]\) per $f : RR\times RR\to RR : (x,y)\mapsto x+y$, che è pure continua.
Il secondo è chiuso; il terzo aperto, il quarto chiuso.
Come regola generale, i sottoinsiemi di uno spazio metrico che sono definiti da disuguaglianze larghe mediante un sacco di funzioni sono chiusi, quelli definiti da disuguaglianze strette sono aperti. La ragione è che la funzione $d : X\times X\to RR$ che dà la metrica è continua, e (ad esempio) il secondo insieme è \(d^\leftarrow(-\infty,1]\), e il terzo è \(f^\leftarrow(-\infty,0]\) per $f : RR\times RR\to RR : (x,y)\mapsto x+y$, che è pure continua.
"killing_buddha":
Il primo non è aperto; se prendi (0,1) quale palla aperta tutta contenuta nell'insieme trovi?
Il secondo è chiuso; il terzo aperto, il quarto chiuso.
Tieni presente che lei ha chiesto se quegli insiemi sono aperti, quindi la questione sul secondo e il quarto rimane aperta perchè (dato che è agli inizi) probabilmente non sa che un chiuso di in $RR^2$ che non è vuoto o $RR^2$ non è aperto.
Ad ogni modo il secondo non è aperto perchè per ogni punto che sta in ${(x,y)|x^2+y^2=1}$ non puoi trovare una palla centrata in esso contenuta nell'insieme (dimostralo), mentre per il quarto non lo puoi fare addirittura per nessun punto dell'insieme.
Intanto grazie ad entrambi per la risposta, la mia domanda pero' riguardava per lo piu' il ragionamento generale da seguire in questi casi. Devo partire ricercando un assurdo con la definizione? Devo ricercare punti specifici che mi diano un assurdo?
Potreste spiegarmi come siete arrivati a quelle conclusioni in modo rigoroso?
Potreste spiegarmi come siete arrivati a quelle conclusioni in modo rigoroso?
"ludovica_97":
sia $(X,d)$ uno spazio metrico e $A\subset X$, A e' aperto nel mio spazio metrico se e solo se $\forall x\in A \exists \epsilon>0$ tale che $B_(x,\epsilon)\subset A$.
Ora devo dire se i seguenti insiemi sono aperti o meno:
$A_1={(x,y)\in RR^2 | x^2+y^2<1} \cup {(1,0)}$
Il punto $(1,0)$ appartiene a $A_1$; tuttavia non esiste nessuna palla $B$, tutta contenuta in $A_1$, di centro $(1,0)$ e raggio $\epsilon > 0$. Il motivo è che il punto \((1+\frac{\epsilon}{2},0)\) non appartiene a $A_1$, e tuttavia appartiene a $B$.
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