Insiemi aperti o chiusi?
Ciao a tutti,
Ho diversi dubbi riguardo che spero di chiarire.
PUNTO 1:
A partire dalla definizione di insieme chiuso secondo la quale un insieme è chiuso se non ha punti di accumulazione oppure, nel caso li abbia, essi sono tutti compresi nell'insieme.
Stando a questa definizione, l'insieme N è chiuso poiché discreto (dunque privo di punti di accumulazione) esattamente come Z.
Stando sempre a questa definizione direi che R è chiusi poiché ogni punto di accumulazione appartiene ad R, ma a riguardo leggo pareri contrastanti (da qualche che R è aperto da altre che è sia aperto che chiuso)
Infine direi che Q è aperto perché possiede punti di accumulazione (gli irrazionali) che non appartengono a Q. Ma anche qui, contrariamente a quanto suppongo, leggo sui libri che Q è chiuso.
PUNTO 2:
Una topologia T per un insieme X è una famiglia di sottoinsiemi aperti chiusa per intersezioni finite e unioni numerabili tale che contenga l'insieme vuoto e l'insieme X stesso (che dunque deve essere aperto).
Questo mi induce a pensare che su insiemi chiusi (quali N, Z, Q....) non sia possibile costruire alcuna topologia.
PUNTO 3:
Quando si parla di "Spazio Discreto" si intende Insieme munito della topologia discreta non insieme discreto in senso stretto (N o Z)?
Ringrazio anticipatamente.
Ho diversi dubbi riguardo che spero di chiarire.
PUNTO 1:
A partire dalla definizione di insieme chiuso secondo la quale un insieme è chiuso se non ha punti di accumulazione oppure, nel caso li abbia, essi sono tutti compresi nell'insieme.
Stando a questa definizione, l'insieme N è chiuso poiché discreto (dunque privo di punti di accumulazione) esattamente come Z.
Stando sempre a questa definizione direi che R è chiusi poiché ogni punto di accumulazione appartiene ad R, ma a riguardo leggo pareri contrastanti (da qualche che R è aperto da altre che è sia aperto che chiuso)
Infine direi che Q è aperto perché possiede punti di accumulazione (gli irrazionali) che non appartengono a Q. Ma anche qui, contrariamente a quanto suppongo, leggo sui libri che Q è chiuso.
PUNTO 2:
Una topologia T per un insieme X è una famiglia di sottoinsiemi aperti chiusa per intersezioni finite e unioni numerabili tale che contenga l'insieme vuoto e l'insieme X stesso (che dunque deve essere aperto).
Questo mi induce a pensare che su insiemi chiusi (quali N, Z, Q....) non sia possibile costruire alcuna topologia.
PUNTO 3:
Quando si parla di "Spazio Discreto" si intende Insieme munito della topologia discreta non insieme discreto in senso stretto (N o Z)?
Ringrazio anticipatamente.
Risposte
Che $\mathbb{R}$ sia chiuso o aperto o entrambi dipende da dove sei e con quale topologia lavori. Se prendiamo $\mathbb{R}$ dotato della topologia euclidea, esso è sia chiuso sia aperto in quanto insieme ambiente. Se prendi $\mathbb{R}^2_{(x,y)}$ con la topologia euclidea e consideri la retta $y=0$, essa è chiusa.
$\mathbb{Q}$, nel caso di $\mathbb{R}$ con topologia euclidea, non è chiuso, dato che $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}\ne\mathbb{Q}$.
La tua definizione di topologia è imprecisa: essa definisce gli insiemi aperti, dunque come fa ad essere una famiglia di insieme aperti? Rivedila sul libro. Riguardo alla questione che sollevi, dai per scontato di essere nella topologia euclidea. Quegli insiemi sono chiusi in certi ambienti, in altri no.
Per il punto 3, si intende insieme con top. discreta.
Paola
$\mathbb{Q}$, nel caso di $\mathbb{R}$ con topologia euclidea, non è chiuso, dato che $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}\ne\mathbb{Q}$.
La tua definizione di topologia è imprecisa: essa definisce gli insiemi aperti, dunque come fa ad essere una famiglia di insieme aperti? Rivedila sul libro. Riguardo alla questione che sollevi, dai per scontato di essere nella topologia euclidea. Quegli insiemi sono chiusi in certi ambienti, in altri no.
Per il punto 3, si intende insieme con top. discreta.
Paola
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Grazie mille sei stata illuminante....ero stato un po' superficiale nella lettura dei testi.
Solo per essere sicuro aver capito bene....proverò ad essere più preciso.
Si sta parlando di spazi metrici dove la base della topologia è quella generata dai dischi aperti di raggio r. Dunque gli aperti sono dati dall'unione di dischi aperti.
Cito il testo:
"In R con la distanza euclidea i dischi aperti sono gli intervalli aperti e limitati (a, b). Sono insiemi aperti R e R\Z. Non sono aperti Z, Q e R\Q."
Ora R è chiaramente aperto poiché, essendo illimitato, può essere ottenuto come unione di dischi aperti.
Anche per quando riguarda Z (inteso come sottoinsieme di R), a livello intuitivo, mi pare chiaro che non sia possibile considerare intervalli aperti di R la cui unione sia l'insiemi dei numeri interi....questo è sufficiente a porre Z tra gli insiemi chiusi.
Analogamente per Q. Tra due numeri razionali ve n'è sempre uno irrazionale dunque comunque preso un aperto di R esso conterrà sempre elementi di R\Q pertanto la loro unione non potrà mai essere Q.
Esattamente la stessa considerazione vale per R\Q.
Diverso è il caso di R\Z poiché può essere ottenuto mediante l'unione di intervalli aperti del tipo (a, b) con a e b interi.
Grazie ancora per la disponibilità.
Solo per essere sicuro aver capito bene....proverò ad essere più preciso.
Si sta parlando di spazi metrici dove la base della topologia è quella generata dai dischi aperti di raggio r. Dunque gli aperti sono dati dall'unione di dischi aperti.
Cito il testo:
"In R con la distanza euclidea i dischi aperti sono gli intervalli aperti e limitati (a, b). Sono insiemi aperti R e R\Z. Non sono aperti Z, Q e R\Q."
Ora R è chiaramente aperto poiché, essendo illimitato, può essere ottenuto come unione di dischi aperti.
Anche per quando riguarda Z (inteso come sottoinsieme di R), a livello intuitivo, mi pare chiaro che non sia possibile considerare intervalli aperti di R la cui unione sia l'insiemi dei numeri interi....questo è sufficiente a porre Z tra gli insiemi chiusi.
Analogamente per Q. Tra due numeri razionali ve n'è sempre uno irrazionale dunque comunque preso un aperto di R esso conterrà sempre elementi di R\Q pertanto la loro unione non potrà mai essere Q.
Esattamente la stessa considerazione vale per R\Q.
Diverso è il caso di R\Z poiché può essere ottenuto mediante l'unione di intervalli aperti del tipo (a, b) con a e b interi.
Grazie ancora per la disponibilità.
Ricorda che l'insieme ambiente è sempre aperto, quindi $\mathbb{R}$ è aperto in questo caso anche solo semplicemente perché è l'ambiente.
Riguardo agli insiemi che devi dimostrare essere chiusi, per essere rigoroso e non "intuitivo" (in topologia molte cose sono chiare anche a vista, ma se sei agli inizi di questa materia devi giustificare anche l'intuito con rigore), basta notare che hanno tutti interno vuoto. Preso un qualunque punto $a\in\mathbb{Z}$, non esiste un aperto della tua topologia che contiene $a$ ed è contenuto in $\mathbb{Z}$. Idem per $\mathbb{Q},\mathbb{R}-\mathbb{Q}$.
Su $\mathbb{R}-\mathbb{Z}$ devi essere più chiaro: [tex]\displaystyle\mathbb{R}-\mathbb{Z}=\bigcup_{m\in\mathbb{Z}} (m,m+1)[/tex] e questo è aperto perchè unione numerabile di aperti.
Un'ultima cosa: sei stato nuovamente impreciso nella tua definizione "spazi metrici dove la base della topologia è quella generata dai dischi aperti di raggio r".
Non puoi parlare di "aperti", li stai definendo. Per essere preciso devi dire
"spazi metrici $(X,d)$ dove la topologia è quella generata dai dischi ${D_r(x), r>0, x\in X}, D_r(x)={y\in X: d(x,y)
Paola
Riguardo agli insiemi che devi dimostrare essere chiusi, per essere rigoroso e non "intuitivo" (in topologia molte cose sono chiare anche a vista, ma se sei agli inizi di questa materia devi giustificare anche l'intuito con rigore), basta notare che hanno tutti interno vuoto. Preso un qualunque punto $a\in\mathbb{Z}$, non esiste un aperto della tua topologia che contiene $a$ ed è contenuto in $\mathbb{Z}$. Idem per $\mathbb{Q},\mathbb{R}-\mathbb{Q}$.
Su $\mathbb{R}-\mathbb{Z}$ devi essere più chiaro: [tex]\displaystyle\mathbb{R}-\mathbb{Z}=\bigcup_{m\in\mathbb{Z}} (m,m+1)[/tex] e questo è aperto perchè unione numerabile di aperti.
Un'ultima cosa: sei stato nuovamente impreciso nella tua definizione "spazi metrici dove la base della topologia è quella generata dai dischi aperti di raggio r".
Non puoi parlare di "aperti", li stai definendo. Per essere preciso devi dire
"spazi metrici $(X,d)$ dove la topologia è quella generata dai dischi ${D_r(x), r>0, x\in X}, D_r(x)={y\in X: d(x,y)
Paola
Tutto perfettamente chiaro.....adesso torna tutto anche e livello rigoroso.
Riguardo all'imprecisione sulla definizione degli aperti è vero quello che dici ma dipende dal fatto che sono nuovo e non ho ancora letto come usare l'editor per le formule.
Grazie ancora mi sei stata di grande aiuto.
A presto Andrea
Riguardo all'imprecisione sulla definizione degli aperti è vero quello che dici ma dipende dal fatto che sono nuovo e non ho ancora letto come usare l'editor per le formule.
Grazie ancora mi sei stata di grande aiuto.
A presto Andrea
"Kolmogorov":
Anche per quando riguarda Z (inteso come sottoinsieme di R), a livello intuitivo, mi pare chiaro che non sia possibile considerare intervalli aperti di R la cui unione sia l'insiemi dei numeri interi....questo è sufficiente a porre Z tra gli insiemi chiusi.
Attenzione.. così stai dicendo che $ZZ$ non è aperto in $RR$, ma "non essere aperto" non significa essere chiuso. Un sottoinsieme di uno spazio topologico è chiuso, per definizione, se è il complementare di un'aperto.
In generale un sottoinsieme di uno spazio topologico può essere nè chiuso nè aperto.
$ZZ$ è chiuso in $RR$ perchè è complementare di un aperto.
Giusto.....non ricordavo questa cosa.
$ ZZ $ è chiuso perché il suo complementare (rispetto a $ RR $) $ RR $-$ ZZ $ è aperto.
Dunque stando a quanto detto fin'ora riguardo a $ QQ $ e $ RR $-$ QQ $ possiamo solo dire che non sono aperti.
In conclusione questi ultimi insiemi sono chiusi o né chiusi né aperti?
$ ZZ $ è chiuso perché il suo complementare (rispetto a $ RR $) $ RR $-$ ZZ $ è aperto.
Dunque stando a quanto detto fin'ora riguardo a $ QQ $ e $ RR $-$ QQ $ possiamo solo dire che non sono aperti.
In conclusione questi ultimi insiemi sono chiusi o né chiusi né aperti?
Ragiona. Ci sono molti modi per rispondere a questa domanda..
riprendendo quello che tu stesso hai detto $QQ$ non è aperto, e non è aperto nemmeno $RR-QQ$. Quindi..
riprendendo quello che tu stesso hai detto $QQ$ non è aperto, e non è aperto nemmeno $RR-QQ$. Quindi..
Effettivamente è piuttosto ovvio....domanda sciocca 
$ QQ $ non è aperto e se fosse chiuso il suo complementare $ RR $ - $ QQ $ dovrebbe essere aperto, ma abbiamo visto che non è così.
Pertanto direi che non sono né aperti né chiusi.
Grazie tante per l'aiuto.
Questo forum è fantastico c'è praticamente tutto e dalle risposte che leggo mi sembra pieno di persone competenti!!!!!!
A prestissimo
$ QQ $ non è aperto e se fosse chiuso il suo complementare $ RR $ - $ QQ $ dovrebbe essere aperto, ma abbiamo visto che non è così.
Pertanto direi che non sono né aperti né chiusi.
Grazie tante per l'aiuto.
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A prestissimo
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